Enunciado

Encontre a fórmula para f @ g @ h

f (x) = sqrt(x + 1)

g (x) = (1)/(x + 4)

h (x) = (1)/(x)

Passo 1

Primeiro, devemos entender o que a questão pede. Ela pede para que encontremos f @ g @ h , isto é, uma função composta dada por f (g (h (x))) . O procedimento para resolvermos essa questão é simples, e para isto, precisamos dividir em duas etapas: calcular g ( h (x) ) e depois substituir este valor em f (x) .

Passo 2

Primeiramente, devemos determinar a função composta g @ h , isto é, g ( h (x) ) . Para isto, para todo x na equação da função g ( x ) , vamos substituir por h (x) = 1 // x , isto é, calcularemos a seguinte função:

g (h (x)) = g ((1)/(x))

Logo,

g (h (x)) = (1)/((1)/(x) + 4)

Reorganizando a nossa função, obtemos:

g (h (x)) = (1)/((1 + 4 x)/(x))

g (h (x)) = (x)/(1 + 4 x)

Passo 3

Para finalizarmos a questão, precisamos substituir o g (h (x)) encontrado no passo anterior na função f ( x ) , isto é:

f (g (h (x))) = f ((x)/(1 + 4 x))

Logo, temos:

f (g (h (x))) = sqrt((x)/(1 + 4 x) + 1)

Reorganizando, temos:

f (g (h (x))) = sqrt((x + 1 + 4 x)/(1 + 4 x))

f (g (h (x))) = sqrt((5 x + 1)/(1 + 4 x))

Resposta

f @ g @ h (x) = f (g (h (x))) = sqrt((5 x + 1)/(1 + 4 x))

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