Enunciado

66. (a) Se F x = f x g x , onde f e g têm derivadas de todas as ordens, mostre que

F ' ' = f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '

(b) Encontre fórmulas similares para F ' ' ' e F 4

(c) Conjecture uma fórmula para F n

Passo 1

(a)

Para mostrar aquilo a gente precisa derivar duas vezes a função F x , então vamos lá:

F ' x = d d x f x g x

Pela regra do produto:

F ' x = f ' x g x + f x g ' x

Derivando mais uma vez:

F ' ' x = d d x f ' x g x + f x g ' x

A derivada da soma é a soma das derivadas:

F ' ' x = d d x f ' x g x + d d x f x g ' x

Novamente usando a regra do produto:

F ' ' x = f ' ' x g x + f ' x g ' x + f ' x g ' x + f x g ' ' x

F ' ' x = f ' ' x g x + 2 f ' x g ' x + f x g ' ' x

Prontinho, chegamos na expressão do enunciado.

Passo 2

Vamos derivar mais duas vezes para encontrar as expressões que são pedidas, a partir de agora não vou mais escrever o x não funções, para ocupar menos espaço.

F ' ' ' = d d x f ' ' g + 2 f ' g ' + f g ' '

Mesmos passos que antes, a derivada da soma:

F ' ' ' = d d x f ' ' g + d d x 2 f ' g ' + d d x f g ' '

E usando a regra do produto:

F ' ' ' = f ' ' ' g + f ' ' g ' + 2 f ' ' g ' + 2 f ' g ' ' + f ' g ' ' + f g ' ' '

F ' ' ' = f ' ' ' g + 3 f ' ' g ' + 3 f ' g ' ' + f g ' ' '

A primeira expressão já foi, agora vamo derivar mais uma vez:

F 4 = d d x f ' ' ' g + 3 f ' ' g ' + 3 f ' g ' ' + f g ' ' '

Derivada da soma:

F 4 = d d x f ' ' ' g + d d x 3 f ' ' g ' + d d x 3 f ' g ' ' + d d x f g ' ' '

E pela ultima vez, a regra do produto:

F 4 = f 4 g + f ' ' ' g ' + 3 f ' ' ' g ' + 3 f ' ' g ' ' + 3 f ' ' g ' ' + 3 f ' g ' ' ' + f ' g ' ' ' + f g 4

F 4 = f 4 g + 4 f ' ' ' g ' + 6 f ' ' g ' ' + 4 f ' g ' ' ' + f g 4

Passo 3

(c)

Podemos fazer uma analogia com o binômio de Newton:

a + b n = ∑ k = 0 n n k a n - k b k

O teorema é para um polinômio, mas as derivadas estão ficando do mesmo formato que esse polinômio, então se dermos uma mudadinha na fórmula, no lugar do expoente colocar o grau da derivada:

F n = ∑ k = 0 n n k a n - k b k

onde

n k = n ! k ! n - k !

Resposta

(b)

F ' ' ' = f ' ' ' g + 3 f ' ' g ' + 3 f ' g ' ' + f g ' ' '

F 4 = f 4 g + 4 f ' ' ' g ' + 6 f ' ' g ' ' + 4 f ' g ' ' ' + f g 4

(c)

F n = ∑ k = 0 n n k a n - k b k

onde

n k = n ! k ! n - k !

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