Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 66
66. (a) Se , onde f e g têm derivadas de todas as ordens, mostre que
(b) Encontre fórmulas similares para e
(c) Conjecture uma fórmula para
Passo 1
(a)
Para mostrar aquilo a gente precisa derivar duas vezes a função , então vamos lá:
Pela regra do produto:
Derivando mais uma vez:
A derivada da soma é a soma das derivadas:
Novamente usando a regra do produto:
Prontinho, chegamos na expressão do enunciado.
Passo 2
Vamos derivar mais duas vezes para encontrar as expressões que são pedidas, a partir de agora não vou mais escrever o não funções, para ocupar menos espaço.
Mesmos passos que antes, a derivada da soma:
E usando a regra do produto:
A primeira expressão já foi, agora vamo derivar mais uma vez:
Derivada da soma:
E pela ultima vez, a regra do produto:
Passo 3
(c)
Podemos fazer uma analogia com o binômio de Newton:
O teorema é para um polinômio, mas as derivadas estão ficando do mesmo formato que esse polinômio, então se dermos uma mudadinha na fórmula, no lugar do expoente colocar o grau da derivada:
onde
Resposta
(b)
(c)
onde
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