Enunciado

Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

h x = 1 2 x 3 + 1

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de x devem dar, necessariamente, em diferentes valores de h ( x ) . Assim, devemos ter

s e   x 1 ≠ x 2 ⇒ h x 1 ≠ h ( x 2 )

Derivando h , obtemos h ' x = 3 2 x 2 ≥ 0 , de modo que h é crescente. Sendo assim, diferentes valores de x acarretam necessariamente diferentes valores de h ( x ) , de modo que a função é biunívoca. Formalmente, se tomarmos a e b reais com h a = h ( b ) , chegaremos em a 3 = b 3 , cuja única solução real é a = b . Assim, a única forma de h ( a ) ser igual a h ( b ) é se a e b forem o mesmo número. Provamos assim que h é injetora!

Passo 2

O gráfico de h é dado a seguir:

Observe que o gráfico satisfaz o teste da reta horizontal!

Resposta

É biunívoca.

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Seja y=f(x) e x = f - 1 y , verifique qued x d y = 1 d y d x f x = 3 x + 4 2 x + 6
A função f x = e x + x , sendo derivável e injetora, tem uma inversa derivável f - 1 x . Determine o valor de d f - 1 / d x no ponto f ( ln ⁡ 2 ) .
Determine a inversa da função f x = 1 + 1 x , x ≠ 0 . Em seguida, mostre que f - 1 f x = f f - 1 x = x e que d f - 1 d x ​ f x = 1 f ' x .
O que é uma função um a um?A partir do gráfico, como dizer se uma função é um a um?
Use um gráfico para decidir se f é um a um. f x = x 3 + x