Enunciado

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x) e de o domínio da função f^(- 1)

20 ) f (x) = x - 5 x^2 , x >= 1

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Show então, nossa função vai ser:

y = x - 5 x^2

Parece que vai ser enrolado isolar o x ai né? Exatamente por isso, antes de inverter, vamos tentar reescrever essa função pra algo que fique mais fácil de manipular depois. Afinal, só dá pra inverter funções em que o x aparece uma única vez. Com isso em mente, vamos primeiro reorganizar y :

y = - 5 x^2 + x

- y = 5 x^2 - x

Depois vou somar e subtrair por uma constante qualquer b^2 de forma que isso não altere a função em nadica de nada:

- y = 5 x^2 - x + b^2 - b^2

Agora vem o pulo do gato, seja:

(a x - b)^2 = a^2 x^2 - 2 a b x + b^2

Se igualarmos esse polinômio de x acima com o polinômio de x que fizemos antes dele, obtemos:

a^2 x^2 - 2 a b x + b^2 = 5 x^2 - x + b^2

E igualando os coeficientes, vamos ter o seguinte sistema:

{[[a^2 = 5],[2 a b = 1],[b^2 = b^2]])

Da primeira linha, tiramos que:

a = sqrt(5)

Com esse resultado e com a segunda equação, achamos o valor de b :

2 sqrt(5) b = 1

b = (1)/(2 sqrt(5))

E como a gente vai precisar também, temos o seguinte valor pra b^2 :

b^2 = (1)/(20)

Perfeito! Galera, tudo até agora serviu pra provar que

(sqrt(5) x - (1)/(2 sqrt(5)))^2 = 5 x^2 - x + (1)/(20)

E como la do nosso - y , a gente tinha:

- y = 5 x^2 - x + b^2 - b^2

Substituindo b^2 e fazendo a devida substituição:

- y = 5 x^2 - x + (1)/(20) - (1)/(20)

- y = (sqrt(5) x - (1)/(2 sqrt(5)))^2 - (1)/(20)

Viu que agora - y está com uma expressão que só tem x escrito uma única vez? Então daqui em diante que a gente vai começar a inverter, ok?

Passo 3

Vamo que vamo! Da nossa última equação, podemos somar os dois lados por (1)/(20) e chegar em:

(1)/(20) - y = (sqrt(5) x - (1)/(2 sqrt(5)))^2 - (1)/(20) + (1)/(20)

(1)/(20) - y = (sqrt(5) x - (1)/(2 sqrt(5)))^2

Tomando a raiz à quarta dos dois lados, temos:

+- sqrt((1)/(20) - y) = sqrt(5) x - (1)/(2 sqrt(5))

E somando (1)/(2 sqrt(5)) dos dois lados:

(1)/(2 sqrt(5)) +- sqrt((1)/(20) - y) = sqrt(5) x - (1)/(2 sqrt(5)) + (1)/(2 sqrt(5))

sqrt(5) x = (1)/(2 sqrt(5)) +- sqrt((1)/(20) - y)

Fechamos essa doidera inteira ao dividir os dois lados por sqrt(5) e arrumar um pouco a função

(sqrt(5) x)/(sqrt(5)) = ((1)/(2 sqrt(5)) +- sqrt((1)/(20) - y))/(sqrt(5))

x = (1)/(2 * 5) +- sqrt(((1)/(20) - y)/(5))

x = (1)/(10) +- sqrt((1)/(100) - (y)/(5))

x = (1)/(10) +- sqrt((1 - 20 y)/(100))

x = (1)/(10) +- (1)/(10) sqrt(1 - 20 y)

x = (1)/(10) [1 +- sqrt(1 - 20 y)]

Quando a gente faz raiz par, sempre existe a possibilidade de a resposta ser +- , então não esquece, ok? Só que a gente vai acabar escolhendo só um dos sinais. Afinal, o enunciado disse que:

x >= 1

Olhando bem pra função x = f (y) que montamos, vemos que o sinal de negativo não faz muito sentido pois ele não iria satisfazer a condição do enunciado! Então o certo vai ser considerar somente:

x = (1)/(10) [1 + sqrt(1 - 20 y)]

Agora pra gente fechar, vamos achar o intervalo de y que está valendo. Láááá do enunciado a gente tem que:

y = x - 5 x^2 , x >= 1

Po galera, quando x = 1 exatamente, isso acaba dando:

y = 1 - 5 = - 4

Agora quando x é maior, o termo 5 x^2 vai fazer y ficar cada vez mais negativo!! Sendo assim, o intervalo de y correto é:

y <= - 4

E pronto galera, fechamos tudo! Porque juntando esse intervalo com o x = f (y) encontrado, temos:

x = (1)/(10) [1 + sqrt(1 - 20 y)] , y <= - 4

Pra achar a inversa basta trocar x , y de lado! Vamos ter:

y = (1)/(10) [1 + sqrt(1 - 20 x)] , x <= - 4

E a resposta final, no formato certo bonitinho é:

f^(- 1) (x) = (1)/(10) [1 + sqrt(1 - 20 x)]

D_f^(- 1) = x in ] - oo , - 4 ]

Resposta

f^(- 1) (x) = (1)/(10) [1 + sqrt(1 - 20 x)]

D_f^(- 1) = x in ] - oo , - 4 ]

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