Encontre uma fórmula para a função inversa.

y = e^x / (1 + 2e^x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma fórmula para a função inversa da função f x = e x 1 + 2 e x .

Pra isso, vamos seguir o passo a passo para encontrar a inversa de uma função:

Então, basicamente vamos isolar x e escrever a expressão em função de y , beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dando uma olhadinha na nossa função:

f x = e x 1 + 2 e x

Escrevendo y = f ( x ) :

y = e x 1 + 2 e x

Agora vamos tentar isolar x , então vamos retirar ele do expoente. Mas como? Vamos ter que mexer um pouquinho nessa equação. Invertendo a fração dos dois lados, temos:

1 y = 1 + 2 e x e x

Sendo assim, simplificando, vamos ter:

1 y = 1 e x + 2

Colocando os termos que tem x de um lado da equação:

1 e x = 1 y - 2

1 e x = 1 - 2 y y

Agora vamos inverter isso para facilitar:

e x = y 1 - 2 y

E aplicando o logaritmo natural dos dois lados, temos:

ln ⁡ e x = ln ⁡ y 1 - 2 y

Como o logaritmo é a função inversa da exponencial, elas se cancelam e temos:

x = ln ⁡ y 1 - 2 y

Agora vamos chamar x de f - 1 ( x ) e y de x :

f - 1 x = ln ⁡ y 1 - 2 y

E encontramos nossa função inversa.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f - 1 ( x ) = ln ⁡ y 1 - 2 y

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