Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x

O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o x :

lim x → ∞ ⁡ 1 + a ∞ b ∞ = 1 ∞

Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo   0 0 ou ∞ ∞ , não é o nosso caso. Mas a gente ainda pode tentar manipular a função pra chegar lá!

Passo 2

Temos uma função do tipo:

y = f x g ( x )

Então pode ser legal fazer y = e ln ⁡ y . Assim:

y = f x g ( x ) = e ln ⁡ y = e ln ⁡ 1 + a x b x

Como e é uma constante, podemos também fazer:

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + a x b x = e lim x → ∞ ⁡ b x ln ⁡ 1 + a x

Assim, o que devemos realmente calular é:

lim x → ∞ ⁡ b x ln ⁡ 1 + a x

Note que isto é uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 , de modo que não podemos usar a regra ainda.

Passo 3

Mas a gente não desiste! Vamos fazer outra mudança de variável. Vamos analisar a nossa expressão:

lim x → ∞ ⁡ b x ln ⁡ 1 + a x

Se tivesse um jeito de jogar esse x do b x pro denominador, isso facilitaria a nossa vida! Então vamos fazer   t = 1 / x , assim quando x → ∞ , t → 0 e, além disso, x = 1 / t . O limite ficará:

lim x → 0 ⁡ b ln ⁡ 1 + t a t = 0 0

Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 4

Pela regra de L'Hôspital temos que:

lim x → a ⁡ g x h x = lim x → a ⁡ g ' x h ' x  

Derivando, temos:

g ' t = d   b ln ⁡ 1 + t a d t = a b 1 + a t    

h ' x = d t d t = 1

Substituindo:

= lim t → 0 ⁡ a b 1 + a t     1 = lim t → 0 ⁡ a b 1 + a t = a b

Lembra que tínhamos:

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x = e lim x → ∞ ⁡ b x ln ⁡ 1 + a x

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x = e a b

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x b x = e a b

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Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ s e nx∙ l nx
O que acontece se você tentar usar a Regra de l’Hôspital para encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método. s e c s e cxt gx