Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 60
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:
O problema nos pede pra a gente usar o método mais elementar possível e se não pudermos devemos usar a Regra de L'Hôspital. Vamos começar tentando resolver direto, apenas substituindo o :
Para usar a Regra de L'Hôspital precisamos de uma indeterminação do tipo ou , não é o nosso caso. Mas a gente ainda pode tentar manipular a função pra chegar lá!
Passo 2
Temos uma função do tipo:
Então pode ser legal fazer . Assim:
Como é uma constante, podemos também fazer:
Assim, o que devemos realmente calular é:
Note que isto é uma indeterminação do tipo , de modo que não podemos usar a regra ainda.
Passo 3
Mas a gente não desiste! Vamos fazer outra mudança de variável. Vamos analisar a nossa expressão:
Se tivesse um jeito de jogar esse do pro denominador, isso facilitaria a nossa vida! Então vamos fazer, assim quando , e, além disso, . O limite ficará:
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
Pela regra de L'Hôspital temos que:
Derivando, temos:
Substituindo:
Lembra que tínhamos:
Portanto,