Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento da parte indicada da curva.

7 . r(t) = (t \* cos(t))i + (t \* sen(t))j + (2 \* raiz(2)/3) \* t^(3/2)k, 0 <= t <= pi

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, essa seção do livro pede para que nós calculemos o vetor tangente unitário, que seria o vetor dividido pelo módulo dele, utilizando a definição do livro:

T = v → v

Sabendo que:

v = d r d t

d r d t = v = cos ⁡ t - t sin ⁡ t i + sin ⁡ t + t cos ⁡ t j + 2 t 1 2 k

Para o módulo da velocidade temos a raiz quadrada das componentes ao quadrado ficando:

v = cos ⁡ t - t sin ⁡ t 2 + sin ⁡ t + t cos ⁡ t 2 + 2 t 2

v = 1 + t 2 + 2 t

v = t + 1 2

v = t + 1

v = t + 1

Agora o vetor tangente unitário:

T = v v = cos ⁡ t - t sin ⁡ t t + 1 i + sin ⁡ t + t cos ⁡ t t + 1 j + 2 t 1 2 t + 1 k  

Passo 2

Para o segundo passo, precisamos encontrar o comprimento de arco que também seria a velocidade, também usando a definição do livro temos:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t = ∫ a b v d t

Utilizando a definição, como já temos o módulo da velocidade, podemos integrar:

∫ 0 π t + 1 d t = t 2 2 + t 0 π = π 2 2 + π

Resposta

L = π 2 2 + π

Pronto bora para próxima. Vlw

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