Enunciado

Encontre as funções (a) f   o   g   , (b) g   o   f , (c) f   o   f , (d) g   o   g , e seus domínios.

f x = x

g x = 1 - x 3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... temos as seguintes funções:

f x = x

E

g x = 1 - x 3

Queremos encontrar as seguintes funções compostas:

f ∘ g

g ∘ f

f ∘ f

g ∘ g

Lembrando que uma função composta do tipo u ∘ v é dada por u v x .

Em outras palavras, primeiro fazemos a função mais interna v e depois aplicamos a função mais externa u .

Também deveremos descobrir seus domínios, ou seja, os valores de x para os quais a função existe!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para f ∘ g , temos que:

f ∘ g = f g x

Aplicando g :

f ∘ g = f 1 - x 3

Aplicando f :

f ∘ g = 1 - x 3

f ∘ g = 1 - x 6

Veja que o índice da raiz é par. Assim, para essa função composta existir, o radicando não pode ser negativo, ou seja, 1 - x deve ser maior ou igual a zero:

1 - x ≥ 0

1 ≥ x

x ≤ 1

Logo, o domínio são todos os números reais com x ≤ 1 :

D = x ∈ R | x ≤ 1

Passo 3

Para g ∘ f , temos que:

g ∘ f = g f x

Aplicando f :

g ∘ f = g x

Aplicando g :

g ∘ f = 1 - x 3

Veja que o índice da raiz mais externa é ímpar. Logo, não interessa o sinal do seu radicando.

No entanto, a raiz mais interna é quadrada. Assim, seu radicando deve ser sempre maior ou igual a zero:

x ≥ 0

Logo, o domínio são todos os números reais com x ≥ 0 :

D = x ∈ R | x ≥ 0

Passo 4

Para f ∘ f , temos que:

f ∘ f = f f x

Aplicando f :

f ∘ f = f x

Aplicando f novamente:

f ∘ f = x

f ∘ f = x 4

Perceba que o índice da raiz é par. Assim, seu radicando deve ser sempre maior ou igual a zero:

x ≥ 0

Logo, o domínio são todos os números reais com x ≥ 0 :

D = x ∈ R | x ≥ 0

Passo 5

Para g ∘ g , temos que:

g ∘ g = g g x

Aplicando g :

g ∘ g = g 1 - x 3

Aplicando g novamente:

g ∘ g = 1 - 1 - x 3 3

Perceba que o índice de ambas as raízes é ímpar. Assim, não importa o sinal dos seus radicandos para a função existir.

Logo, o domínio são todos os números reais.

D = x ∈ R

Resposta

f ∘ g = 1 - x 6

D = x ∈ R | x ≤ 1

g ∘ f = 1 - x 3

D = x ∈ R | x ≥ 0

f ∘ f = x 4

D = x ∈ R | x ≥ 0

g ∘ g = 1 - 1 - x 3 3

D = x ∈ R

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