Enunciado

Encontre as funções f g x ,   g f x , f f x   e   g ( g x ) e seus domínios

f x = 2 x + 3 ,     g x = x 2 + 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos dá as seguintes funções:

f x = 2 x + 3

E

g x = x 2 + 1

Desejamos encontrar as funções compostas indicadas abaixo:

f g x

  g f x

f f x

g ( g x )

Para isso, devemos lembrar que uma função composta nada mais é do que uma função “dentro” da outra.

Dessa forma, vamos substituir no lugar de x da função mais externa o valor da função que está mais interna!!

Também queremos determinar o domínio da função... mas o que é isso???

Bom... O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (ou argumentos) para os quais a função está definida.

Assim, devemos analisar se haverá alguma restrição que irá impossibilitar a função de ter um número real!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Assim, vamos calcular f g x   utilizando o método descrito no passo 1.

Aplicando g x , temos:

f g x = f x 2 + 1

Agora, implementando a f x , temos:

f g x = 2 ⋅ x 2 + 1 + 3 ∴

f g x = 2 x 2 + 5

Para que a função exista, não pode haver um número negativo dentro da raiz.

Perceba que como x está elevado ao quadrado, qualquer valor será sempre um número positivo quando for elevado ao quadrado!!

Assim, não há restrições e o domínio são todos os números reais!!

D = x ∈ R

Passo 3

O mesmo procedimento é utilizado para encontrarmos g f x .

Aplicando a função mais interna ( f ( x ) ):

g f x = g 2 x + 3

Implementando com g ( x ) :

g f x = 2 x + 3 2 + 1 ∴

g f x = 2 x + 4

Perceba que não há restrições para essa função. Assim, o domínio são todos os números reais!!

D = x ∈ R

Passo 4

Agora, fazendo para f f x , temos:

f f x = f 2 x + 3 ∴

f f x = 2 ⋅ 2 x + 3 + 3

Para que essa função exista, o termo 2 x + 3 deve ser positivo, ou seja:

2 x + 3 ≥ 0 ∴

2 x ��� - 3 ∴

x ≥ - 3 2

Logo, o domínio são todos os números reais para x ≥ - 3 2 , ou seja:

D = x ∈ R | x ≥ - 3 2

Passo 5

E, para g g x , temos:

g g x = g x 2 + 1 ∴

g g x = x 2 + 1 2 + 1 ∴

g g x = x 4 + 2 x 2 + 2

Perceba que não há restrições para essa função. Assim, o domínio são todos os números reais!!

D = x ∈ R

Resposta

f g x = 2 x 2 + 5

D = x ∈ R

g f x = 2 x + 4

D = x ∈ R

f f x = 2 ⋅ 2 x + 3 + 3

D = x ∈ R | x ≥ - 3 2

g g x = x 4 + 2 x 2 + 2

D = x ∈ R

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