Enunciado

Encontre as funções f g x ,   g f x , f f x   e   g ( g x ) e seus domínios

f x = 1 - x 3 ,   g x = 1 x

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema foram dadas duas funções

f x = 1 - x 3

g x = 1 x

E a partir dessas funções desejamos encontrar as funções compostas indicadas no enunciado.

f g x , g f x , f f x e g g x

Além disso queremos determinar o domínio da função resultante.

Parece complicado?

Para resolver esse problema devemos lembrar que uma função composta nada mais é do que uma função “dentro” da outra.

Dessa forma, vamos substituir no lugar de x da função mais externa o valor da função que está mais interna... ou seja, em f g x temos g x composto com f x , então pegamos f x e no lugar de x substituímos por g x .

Já o domínio de uma função pode ser interpretado como os possíveis valores que x pode admitir para a função existir.

Uma boa técnica para determinar o domínio de uma função é analisar a função e visualizar os valores de x que fazem a função ser indefinida.

Bora começar!

Passo 2

Como já adiantamos no passo anterior, vamos pegar a função f x e no lugar de x substituímos por g x .

Se f x = 1 - x 3 e g x = 1 x , temos

f x = 1 - x 3 → f g x = 1 - g x 3

f g x = 1 - 1 x 3

f g x = 1 - 1 x 3

Nesse caso, analisando a função, vemos que x aparece isolado apenas uma vez e no denominador de uma fração.

Portanto, sabemos que não existe divisão por 0 , logo, x não pode assumir esse valor.

Dessa forma o domínio da função será dado por

D o m f g x = f g x ∈ R x ≠ 0

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular g f x

Pra isso vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente

Se f x = 1 - x 3 e g x = 1 x , temos

g x = 1 x → g f x = 1 f x

g f x = 1 1 - x 3

Aqui novamente x aparece no denominador de uma fração, porém dessa vez ele não está sozinho...

Como o denominador não pode zerar temos que x não pode ser igual a 1 , logo

D o m g f x = g f x ∈ R x ≠ 1

Bacana, não é?

Passo 4

Por fim, como já pegamos o jeito, vamos calcular f f x e g g x nesse passo fazendo o mesmo procedimento...

Se f x = 1 - x 3 e g x = 1 x , temos

f x = 1 - x 3 → f f x = 1 - f x 3

f f x = 1 - 1 - x 3 3

Desenvolvendo 1 - x 3 3 ...

f f x = 1 - 1 - 3 x 3 + 3 x 6 - x 9

f f x = x 9 - 3 x 6 + 3 x 3

Nesse caso temos um polinômio com nenhum grau menor que 0 , portanto não há restrições para os valores de x .

D o m f f x = f f x ∈ R x ∈ R

Agora para g g x ...

g x = 1 x → g g x = 1 g x

g g x = 1 1 x

g g x = x

Da mesma forma aqui! x pode assumir qualquer valor que g g x vai existir...

D o m g g x = g g x ∈ R x ∈ R

E fim!! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f g x = 1 - 1 x 3 ,     D o m f g x = f g x ∈ R x ≠ 0

g f x = 1 1 - x 3 ,     D o m g f x = g f x ∈ R x ≠ 1

f f x = x 9 - 3 x 6 + 3 x 3 ,     D o m f f x = f f x ∈ R x ∈ R

g g x = x ,     D o m g g x = g g x ∈ R x ∈ R

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Verifique que I m f sub D_g e determine a composta h (x) = g (f (x)) .g (x) = - x^2 + 3 x + 1 e f (x) = 2 x - 3
Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e (g)/(f) f (x) = x e g (x) = x^2 - 1
Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e (g)/(f) f (x) = 1 e g (x) = sqrt(x - 1)
Verifique que I m f sub D_g e determine a composta h (x) = g (f (x)) .g (x) = sqrt(x) e f (x) = 2 + x^2
Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e (g)/(f) f (x) = 1 e g (x) = (1)/((x - 2)^2)