Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide

x = r θ - d sen ⁡ θ

y = r - d cos ⁡ θ

Em termos de θ .

E mostre que se d < r , então a trocoide não tem uma tangente vertical.

Passo 1

A inclinação da reta tangente à curva é dada por

d y d x = d y d θ d x d θ

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = r - d cos ⁡ θ

d y d θ = + d sen ⁡ θ

Agora a derivada de x :

x = r θ - d sen ⁡ θ

d x d θ = r - d cos ⁡ θ

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d θ d x d θ = d sen ⁡ θ r - d cos ⁡ θ

E tá aí a inclinação da nossa reta tangente em termos do parâmetro θ .

Passo 3

Agora precisamos mostrar que se d < r , ou seja, se nossa trocoide é interna, ela não tem uma reta tangente vertical.

A reta tangente é vertical quando

d x d θ = 0

Assim, devemos provar que para d < r , d x d θ nunca será igual a zero. Sacou?

Passo 4

Sabemos que

d x d θ = r - d cos ⁡ θ

Se

0 < d < r

Temos a seguinte situação

E as coordenadas do nosso ponto P são a parametrização da trocoide.

Relembrando rapidamente, temos

P = ( x , y )

x = x C - P A

y = r - A C

E, do triangulo P C A :

P A = d sin ⁡ θ

A C = d cos ⁡ θ

Passo 5

Agora voltando a nossa questão, já que temos

0 < d < r

Podemos dizer que

A C ≤ d < r

Então

d cos ⁡ θ ≤ d < r

Fazendo r - t e r m o s em todos os membros da inequação:

r - d cos ⁡ θ ≥ r - d > r - r = 0

Isso quer dizer que

d x d θ ≥ r - d > 0

Ou seja, d x d θ nunca valerá zero.

E isso significa que não há tangente vertical.

Resposta

d y d x = d sen ⁡ θ r - d cos ⁡ θ

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Em quais pontos na curva x = 2 t 3 y = 1 + 4 t - t 2 A reta tangente tem inclinação 1 .
Calcule a área limitada pela curva x = t 2 - 2 t y = t E pelo eixo y .
Com uma ferramenta gráfica, trace a curva x = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t y = sen ⁡ t + 2 s en ⁡ 2 t Para descobrir onde ela intersepta a si mesma. A seguir, encontre a equação para ambas as tangentes nesse