Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 28
- Encontre a inclinação da reta tangente à astroide
Em termos de .
- Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical?
- Em que pontos a tangente tem inclinação ou ?
Em termos de .
Passo 1
A inclinação da reta tangente à curva é dada por
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Passo 2
Vamo começar pela derivada de :
Agora a derivada de :
Substituindo na fórmula
E tá aí a inclinação da nossa reta tangente em termos do parâmetro .
Passo 3
A reta tangente é horizontal quando
Ou seja, quando
E vertical quando
Então, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os valores de em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar os pontos correspondentes.
Passo 4
Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.
Vamos fazer
Porque nesse caso vai ser mais fácil do que zerar o .
Passo 5
Substituindo na parametrização na curva.
Para
Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos
Passo 6
Agora vamos ver quando a reta tangente é vertical.
Passo 7
Substituindo na parametrização na curva.
Para
Portanto, a reta tangente é vertical nos pontos
Passo 8
Para a reta tangente ter inclinação igual a precisamos que
E isso ocorre quando
E os pontos em que isso ocorre são
Portanto, a reta tangente tem inclinação nos pontos
Resposta
A reta tangente é horizontal nos pontos
A reta tangente é vertical nos pontos
A reta tangente tem inclinação nos pontos