Enunciado

  1. Encontre a inclinação da reta tangente à astroide
  2. x = a cos 3 ⁡ θ

    y = a sen 3 ⁡ θ

    Em termos de θ .

  3. Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical?
  4. Em que pontos a tangente tem inclinação 1 ou - 1 ?

Passo 1

a )

A inclinação da reta tangente à curva é dada por

d y d x = d y d θ d x d θ

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = a sen 3 ⁡ θ

d y d θ = 3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora a derivada de x :

x = a cos 3 ⁡ θ

d x d θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d θ d x d θ = - 3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ cos ⁡ θ = - tan ⁡ θ

E tá aí a inclinação da nossa reta tangente em termos do parâmetro θ .

Passo 3

b )

A reta tangente é horizontal quando

d y d x = d y d θ d x d θ = 0

Ou seja, quando

d y d θ = 0

E vertical quando

d x d θ = 0

Então, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar os pontos correspondentes.

Passo 4

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

Vamos fazer

d y d x = 0

Porque nesse caso vai ser mais fácil do que zerar o d y d θ .

d y d x = - tan ⁡ θ = 0

Passo 5

Substituindo na parametrização na curva.

Para θ = n π

x = a cos 3 ⁡ n π = ± a

y = a sen 3 ⁡ n π = 0

Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( ± a , 0 )

Passo 6

Agora vamos ver quando a reta tangente é vertical.

d x d θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ = 0

cos 2 ⁡ θ = 0

θ = n π 2

Passo 7

Substituindo na parametrização na curva.

Para θ = n π 2

x = a cos 3 ⁡ n π 2 = 0

y = a sen 3 ⁡ n π 2 = ± a

Portanto, a reta tangente é vertical nos pontos

P 2 = ( 0 , ± a )

Passo 8

c )

Para a reta tangente ter inclinação igual a ± 1 precisamos que

d y d x = - tan ⁡ θ = ± 1

E isso ocorre quando

θ = n π 4

E os pontos em que isso ocorre são

x = a cos 3 ⁡ n π 4 = a ± 2 2 3 = ± a 2 4

y = a sen 3 ⁡ n π 4 = a ± 2 2 3 = ± a 2 4

Portanto, a reta tangente tem inclinação ± 1 nos pontos

P 3 = ± a 2 4 , ± a 2 4

Resposta

a )

d y d x = - tan ⁡ θ

b )

A reta tangente é horizontal nos pontos

P 1 = ( ± a , 0 )

A reta tangente é vertical nos pontos

P 2 = ( 0 , ± a )

c )

A reta tangente tem inclinação ± 1 nos pontos

P 3 = ± a 2 4 , ± a 2 4

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