Enunciado

Com uma ferramenta gráfica, trace a curva

x = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t

y = sen ⁡ t + 2 s en ⁡ 2 t

Para descobrir onde ela intersepta a si mesma. A seguir, encontre a equação para ambas as tangentes nesse ponto.

Passo 1

Beleza, lá vamo nós pro nosso querido Winplot traçar essa curva aí.

E com isso a gente vê que a curva se intersepta no ponto:

x , y = ( - 2,0 )

PS: como sempre, se a gente não tivesse com um pc por perto pra ajudar a traçar a curva, poderíamos só ter chutados vários valores para t e substituir na curva e com isso obteríamos vários pontos. Daí era só plotar esses pontos e ligar tudo pra ter a curva. É um processo mais trabalhoso e rudimentar, mas funciona também, tá bem?

Passo 2

Show, agora que temos nosso ponto, bora descobrir a reta tangente nesse ponto.

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 3

Vamo começar pela derivada de y :

y = sen ⁡ t + 2 sen ⁡ 2 t

d y d t = cos ⁡ t + 4 cos ⁡ 2 t

Agora a derivada de x :

x = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t

d x d t = - sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 2 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = - cos ⁡ t + 4 cos ⁡ 2 t sen ⁡ t + 4 sen ⁡ 2 t

Passo 4

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( - 2,0 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t = - 2

y = sen ⁡ t + 2 sen ⁡ 2 t = 0

Das formulas o ângulo duplo, substituindo na primeira equação, temos:

x = cos ⁡ t + 2 2 cos 2 ⁡ t - 1 = - 2 ⇒ cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t - 2 = - 2

4 cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t = 0

cos ⁡ t 4 cos ⁡ t + 1 = 0

cos ⁡ t = 0

t = π 2

Ou

cos ⁡ t = - 1 4

t = π 3

Ou seja, temos dois valores possíveis para t correspondentes ao ponto ( - 2 , 0 ) .

Passo 5

Substituindo no vetor tangente, temos:

Para t = π 2   :

d y d x = - cos ⁡ π 2 + 4 cos ⁡ 2 π 2 sen ⁡ π 2 + 4 sen ⁡ 2 π 2 = 4

Para t = π 3 :

d y d x = - cos ⁡ π 3 + 4 cos ⁡ 2 π 3 sen ⁡ π 3 + 4 sen ⁡ 2 π 3 = - 2,02

Assim, temos dois vetores tangentes, logo, vamos ter duas retas tangentes no ponto ( - 2 , 0 ) .

Passo 6

As equações da reta tangente no ponto ( - , 0 ) ficam:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 0 = 4 ( x + 2 )

y = 4 x + 8

E

y - 0 = - 2,02 ( x + 2 )

y = - 2,02 x - 4,04

Resposta

As retas tangentes são

y = 4 x + 8

E

y = - 2,02 x - 4,04

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