Enunciado

Calcule a área limitada pela curva

x = t^2 - 2 t

y = sqrt(t)

E pelo eixo y .

Passo 1

A área de uma curva é dada por

A = int_a^b y d x

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de integração, vamos pensar o seguinte:

Queremos a área entre a curva e o eixo y . Só que o eixo y é justamente onde o x = 0 , assim:

0 = t^2 - 2 t

Podemos dar uma manipulada:

t (t - 2) = 0

E encontramos duas soluções:

t = 0

Ou

t - 2 = 0

t = 2

Esses são nossos limites de integração!!

a = 0

b = 2

Sobre os outros termos da integral, o y é a própria parametrização:

y = sqrt(t)

Para achar d x é só pegar a parametrização do x e derivar em relação a t :

x = t^2 - 2 t

Derivando:

d x = ( 2 t - 2 ) d t

Passo 3

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula, vamos relembrar a fórmula geral:

A = int_a^b y d x

Agora substituindo:

A = int_0^2 sqrt(t) ( 2 t - 2 ) d t

Vamos dar uma organizadinha, abrir esse parênteses pra ficar melhor:

A = 2 int_0^2 t^((3)/(2)) - t^((1)/(2)) d t

Agora calculando:

A = 2 [(2 t^((5)/(2)))/(5) - (2 t^((3)/(2)))/(3)]_0^2

Aplicando os limites de integração:

A = 4 ((2^((5)/(2)))/(5) - (2^((3)/(2)))/(3))

Resolvendo:

A = 4 ((sqrt(32))/(5) - (sqrt(8))/(3))

Arrumando as raizes:

A = 4 ((4 sqrt(2))/(5) - (2 sqrt(2))/(3))

Agora ficamos com:

A = 4 ((2 sqrt(2))/(15)) = (8 sqrt(2))/(15)

A = 0,75

Aweeee!

Resposta

A = 0,75

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