Enunciado

(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x + 1

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... A questão nos dá a seguinte função:

f x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x + 1

Queremos calcular os intervalos em que f é crescente ou decrescente, os valores máximo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Muita coisa, né??

Vamos devagarinho que vai dar tudo certo!! 😉

Passo 2

Para achar os números críticos de f , derivamos a função:

f ' ( x ) = 12 x 2 + 6 x - 6

Reorganizando, temos:

f ' x = 6 2 x 2 + x - 1 ∴

f ' ( x ) = 6 ( 2 x - 1 ) ( x + 1 )

Para acharmos as raízes temos que f ' x > 0 se x < - 1 ou x > 1 2 .

Também temos que que f ' x < 0 se - 1 < x < 1 2 .

Então, a função será crescente em - ∞ , - 1 e em 1 2 , ∞ , e decrescente em - 1 , 1 2 .

Passo 3

Para os valores de máximo e mínimo, analisamos os sinais de acordo com o Teste da Primeira Derivada.

Como o sinal de muda de negativo para positivo   x = - 1 , o teste nos diz que há um máximo local em x = - 1 e o valor máximo local é

f - 1 = 4 ( - 1 ) 3 + 3 ( - 1 ) 2 - 6 - 1 + 1 ∴

f - 1 = 6

E o mínimo é em x = 1 2 , pois é onde o sinal muda de negativo para positivo. Esse valor é de:

f 1 2 = 4 1 2 3 + 3 1 2 2 - 6 1 2 + 1 ∴

f 1 2 = - 3 4

Passo 4

Com os valores já calculados agora determinamos os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão pelo Teste da Segunda derivada. Fazendo:

f x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x + 1

f ' ( x ) = 12 x 2 + 6 x - 6

f ' ' ( x ) = 24 x + 6

Organizando:

f ' ' ( x ) = 6 ( 4 x + 1 )

Então, temos que quando f ' ' x > 0 , x > - 1 4 .

E, para f ' ' x < 0 , x < - 1 4 .

Portanto, a concavidade é para baixo em - ∞ , - 1 4 .

O ponto de inflexão é onde ( x , f ( x ) ) , logo

f - 1 4 = 4 - 1 4 3 + 3 - 1 4 2 - 6 - 1 4 + 1 ∴

f - 1 4 = 21 8

Dessa forma, podemos concluir que:

x , f x = ( - 1 4 , 21 8 )

Resposta

(a) a função será crescente em ( - ∞ , - 1 ) e em ( 1 2 , ∞ ) , e decrescente em ( - 1 , 1 2 ) .

(b) há um máximo local em x = - 1 e o valor máximo local é f - 1 = 6 ; e o mínimo é em x = 1 2 , com valor de f 1 2 = - 3 4 .

(c) a concavidade é para baixo em ( - ∞ , - 1 4 ) e o ponto de inflexão é ( - 1 4 , 21 8 ) .

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(a) Que desigualdade f ( x ) precisa satisfazer para que f tenha um máximo absoluto em um ponto x 0 de um intervalo? (b) Que desigualdade f ( x ) precisa satisfazer para que f tenha um mínimo absoluto
Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos.a)f ( x )=x 2-3 x-1 ;( - ∞,+ ∞ ) b) f x = x 3 -3 x–
Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos.a)f x = 1 x ;- 2 ,- 1 b) f x = x 3 - x 4 ;- 1 , 3 2
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois. a f x = x 1 3 x - 7 2 b f x = 2 s e n x - co
Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de f ' e de f ' ' no intervalo indicado e, então, use-os para estimar as coordenadas x dos extremos relativos de f . Verifique se as suas es