Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 5.10 - Ex. 6k

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desse livro

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

k) f x = x + 1 x

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = x + 1 x

f ' x = 1 - 1 x 2 = x 2 - 1 x 2

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 .

f ' x > 0 ⇒ x 2 - 1 x 2 > 0

Antes de tudo, vale ressaltar que x não pode, de forma alguma, ser 0 , pois o denominador não pode ser zero, ok? Continuando:

x 2 - 1 > 0

x + 1 . x - 1 > 0

Aqui temos que as raízes da função são 1 e - 1 , certo? Sendo assim, temos que analisar a função para quando x tende a estes valores pela esquerda e pela direita, jóia? Não precisamos nos preocupar com o denominador porque ele sempre será positivo por conta do quadrado, sendo assim:

À direita de x = 1 temos que f ' x > 0 ;

À esquerda de x = 1 temos que f ' x < 0 ;

À direita de x = - 1 temos que f ' x < 0 ;

À esquerda de x = - 1 temos que f ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 1 ∪ 1 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: ( - 1 ,   0 ) ∪ 0 ,   1 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Se observamos o gráfico, notaremos que, de fato, a solução algébrica que chegamos faz sentido! À esquerda de x = 1 a derivada é negativa, à direita de x = 1 a derivada é positiva, à esquerda de x = - 1 a derivada é positiva e, por fim, à direita de x = - 1 a derivada é negativa, assim como concluímos no passo 2 .

E essa é a nossa análise completa, pessoal! 😊

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   - 1 ∪ 1 ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: ( - 1 ,   0 ) ∪ 0 ,   1 .

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