Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f θ = 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ     0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' θ = - 2 sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ  

f ' θ = - 2 sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

Então, f ' θ > 0 se π < θ < 2 π e f ' θ < 0 se 0 < θ < π .

Portanto, f é crescente para valores de θ no intervalo π , 2 π e decrescente em ( 0 , π ) .

Passo 2

Item b:

Como f decresce até θ = π e cresce a partir dele, θ = π é ponto de mínimo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' ' θ = - 2 sen ⁡ θ sen ⁡ θ + 1 + cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ

f ' ' θ = - 2 sen 2 ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ - 2 cos 2 ⁡ θ

f ' ' θ = - 2 2 cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ + 1

Então, analisando o sinal da função temos:

Portanto, f possui concavidade para cima no intervalo π 3 , 5 π 3 e concavidade para baixo nos intervalos 0 , π 3 e 5 π 3 , 2 π . E os pontos de inflexão são θ = π 3 e θ = 5 π 3 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) f é crescente para valores de θ no intervalo π , 2 π e decrescente em ( 0 , π ) .

(b) θ = π é ponto de mínimo local.

(c) f possui concavidade para cima no intervalo π 3 , 5 π 3 e concavidade para baixo nos intervalos 0 , π 3 e 5 π 3 , 2 π . E os pontos de inflexão são θ = π 3 e θ = 5 π 3 .

(d)

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co
Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       -
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores