Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f θ = 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ     0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e eu e você iremos agora resolvermos juntos essa atividade de cálculo.

Item a:

Está alternativa nos pede para encontrarmos os intervalos em que a função dada é crescente ou decrescente.

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' θ = - 2 sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ  

f ' θ = - 2 sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

Então:

  • f ' θ > 0 se π < θ < 2 π
  • f ' θ < 0 se 0 < θ < π

Portanto, f é crescente para valores de θ no intervalo π , 2 π e decrescente em ( 0 , π ) .

Passo 2

Item b:

Os pontos críticos de uma função são os valores de x   nos quais a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar a presença de mínimos locais, máximos locais ou pontos de inflexão na função.

Para encontrar o ponto crítico precisamos igualar a derivada da função a zero:

0 = - 2 s e n θ 1 + cos ⁡ θ

0 = - 2 s e n θ - 2 s e n θ cos ⁡ θ

- 1 = cos ⁡ θ

π = θ

Então meu amigo, os pontos críticos podem ser classificados em três categorias principais:

Mínimo local: Se f ' x > 0 para valores de x à esquerda do ponto crítico e f ' x < 0 para valores de x   à direita do ponto crítico, então o ponto crítico indica um mínimo local.

Máximo local: Se f ' x < 0 para valores de x   à esquerda do ponto crítico e f ' x > 0 para valores de x   à direita do ponto crítico, então o ponto crítico indica um máximo local.

Como f decresce até θ = π e cresce a partir dele, θ = π é ponto de mínimo local. Algo que pode ser visto no gráfico do passo anterior.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' x = - 2 sin ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

f ' ' x = - 2 s in ⁡ θ ' - 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ '

f ' ' x = - 2 cos ⁡ θ - 2 - sin ⁡ θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ

f ' ' x = - 2 cos ⁡ θ   +   2 sin ⁡ θ 2 - 2 cos ⁡ θ 2

f ' ' x = - 2 cos ⁡ θ   +   2 1 - cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ 2

f ' ' x = - 2 cos ⁡ θ   +   2 - 2 cos 2 ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ 2

f ' ' x = - 4 cos ⁡ θ 2 - 2 cos ⁡ θ + 2

Igualando-a a zero:

0 = - 4 cos ⁡ θ 2 - 2 cos ⁡ θ + 2

0 = - 2 cos ⁡ θ 2 - cos ⁡ θ + 1

0 = 2 cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ + 1

Então temos:

cos ⁡ θ = 1 2 ,   θ = π 3 , 5 π 3

cos ⁡ θ = 1 ,   θ = π

Então, analisando o sinal da função nos intervalos de pontos críticos de f ' temos:

0 , π 3 :   f ' ' π 6 ≈ - 2.7 < 0 concavidade para baixo

π 3 , π :   f ' ' π 2 = 2 > 0 concavidade para cima

π , 5 π 3 :   f ' ' 3 π 2 = 2 > 0 concavidade para cima

5 π 3 , 2 π :   f ' ' 11 π 6 ≈ - 2.7 < 0 concavidade para baixo

A concavidade muda em x = π 3 e 5 π 3 então são os nossos pontos de inflexão:

π 3 , f π 3 = π 3 , 5 4

5 π 3 , f 5 π 3 = 5 π 3 , 5 4

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico gerado no querido GeoGebra:

Resposta

(a) f é crescente para valores de θ no intervalo π , 2 π e decrescente em ( 0 , π ) .

(b) θ = π é ponto de mínimo local.

(c) f possui concavidade para cima no intervalo π 3 , 5 π 3 e concavidade para baixo nos intervalos 0 , π 3 e 5 π 3 , 2 π . E os pontos de inflexão são θ = π 3 e θ = 5 π 3 .

(d)

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