Enunciado

(a) Explique por que a regra de L’Hôpital não se aplica ao problema

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x

(b) Encontre o limite

Passo 1

(a)Se aplicamos 0 em x dentro da função, vamos acabar tendo o seno de um ângulo infinito, que é indeterminado.

A regra de L’Hôpital só pode ser aplicada nas indeterminações do tipo 0 0 e ∞ ∞ . Não tendo essas indeterminações, em alguns casos podemos manipular a função de forma que ela chegue a esse formato de indeterminação.

Em outros casos, nem fazendo essa manipulação isso é possível. É esse o caso da função que temos agora. Mas, isso não significa necessariamente que ela tenha um limite inexistente!

Passo 2

(b)O melhor caminho pra determinar esse limite é pelo Teorema do Confronto.

Primeiro, lembramos da trigonometria básica que o seno de um ângulo (que, nesse caso, é descrito por 1 x ) está limitado entre - 1 e 1 . Escrevemos então:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Agora, repara que se a gente multiplicar cada termo da inequação por x 2 sin ⁡ x a gente vai ter:

- x 2 sin ⁡ x ≤ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x ≤ x 2 sin ⁡ x

Que, no termo do meio, resulta exatamente na nossa função f ( x ) . O Teorema do Confronto diz que, quando uma função é limitada entre outras duas, o limite dessas funções dos extremos a um determinado valor, também vai valer pra função do meio!

Passo 3

Se queremos lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x , podemos calcular lim x → 0 ⁡ - x 2 sin ⁡ x e lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x , que vamos ter o resultado pro primeiro limite!

E lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x e lim x → 0 ⁡ - x 2 sin ⁡ x são facilmente calculáveis por L’Hôpital! Temos:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - 2 x cos ⁡ x = - 2 ∙ 0 cos ⁡ 0 = - 0 1 = 0

lim x → 0 ⁡ - x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 x cos ⁡ x = 2 ∙ 0 cos ⁡ 0 = 0 1 = 0

Concluímos então, pelo Teorema do Confronto, que:

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x sin ⁡ x = 0

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