Enunciado

Encontre o limite dado interpretando a expressão como uma derivada apropriada.

lim h → 0 ⁡ 10 h - 1 h

Passo 1

O que essa questão quer é basicamente que a gente lembre da definição de derivadas a partir de limites, lembra?

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h  

Concorda que o limite da questão se assemelha um pouco com o limite da definição de derivadas? Agora precisamos pensar em uma função f x   e um x 0   tal que:

f x 0 + h =     10 h

E

f x 0 = 1

Passo 2

É bem provável que a nossa função desejada seja do tipo 10 k x , com k   sendo uma constante e o nosso x 0 = 0 , pois 10 0 = 1 e isso já garantiria que f x 0 = 1 .

Vamos testar então

f x = 10 x             ;             x 0 = 0

Então as expressões que interessam a gente são:

f x 0 + h = f 0 + h =     f h = 10 h

E

f x 0 = f 0 = 10 0 = 1

Nosso limite ficaria assim:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f ( x 0 ) h       =     lim h → 0 ⁡ 10 h - 1 h

Opaaa percebe que apareceu exatamente o limite que estamos interessados?

Passo 3

Chegamos à conclusão de que o limite pedido nada mais é do que a definição de derivada para a função

f x = 10 x

No ponto x 0 = 0 .

Para derivar nossa função vamos ter que fazer o seguinte, vamos começar aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ f x = ln ⁡ ( 10 x ) = x ln ⁡ ( 10 )  

Derivando a gente chega que:

[ ln ⁡ ( f x ) ' = [ x ln ⁡ ( 10 ) ] '  

1 f x   f ' x = ln ⁡ ( 10 )

f ' x = ln ⁡ 10   f x

Mas f x = 10 x , então:

f ' x = ln ⁡ 10   10 x

Fazendo x = x 0 = 0

f ' x 0 = f ' 0 = ln ⁡ ( 10 )   10 0 = ln ⁡ 10

O valor do limite é:

lim h → 0 ⁡ 10 h - 1 h = ln ⁡ 10  

Resposta

lim h → 0 ⁡ 10 h - 1 h = ln ⁡ 10  

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