Enunciado

19. Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Temos que calcular o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2

Ou então, provar que ele não existe!

Parece complicado?

Olhando o limite dá um sentimento de não saber por onde começar, né? Então precisamos simplificar essa expressão antes de qualquer coisa!

Vamos nessa?!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo nossa função como

t + t 2 2 t - t 2 = t 1 / 2 + t 2 2 t - t 2

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique no denominador, isso porque:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Imagina dividir 1 100000000000000 o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Vamos tentar fazer isso aqui, para isso vamos dividir o numerador o denominador por t 2 que é o maior grau do polinômio do denominador, assim a gente garante que qualquer t que sobrar vai estar no denominador!

t 1 / 2 + t 2 2 t - t 2 = t 1 2 t 2 + t 2 t 2 2 t t 2 - t 2 t 2

Ficamos com:

1 t 3 2 + 1 2 t - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora ficou molezinha! Vamos calcular:

l i m t → ∞   1 t 3 2 + 1 2 t - 1 = 1 ∞ 3 2 + 1 2 ∞ - 1

Como vimos no passo anterior, quando dividimos um número pequeno por um número grande, podemos dizer que o resultado tende a 0 , logo

l i m t → ∞   1 t 3 2 + 1 2 t - 1 = 1 ∞ 3 2 + 1 2 ∞ - 1 = 0 + 1 0 - 1 = - 1

Temos então que:

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2 = - 1

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

lim t → ∞ ⁡ t + t 2 2 t - t 2 = - 1

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