Enunciado

29. Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 + x x 3 - x + 2

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 + x x 3 - x + 2

Ou então, provar que ele não existe!

lim x → ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 + x x 3 - x + 2 = ∞ ∞

Se aplicamos diretamente em x , chegamos à indeterminação ∞ ∞ . Precisamos então manipular nossa função e fugir da indeterminação!

Tem uma tática muito legal pra usar quando estamos tendendo pro infinito que é manipular a fórmula pra que a variável fique nos denominadores dos termos, isso porque:

l i m x → ∞ 1 x = 0

Imagina dividir 1 100000000000000 o resultado disso é beeem próximo de zero e quanto mais a gente aumenta o denominador, mais próximos estamos de zero! Sacou?!

Essa estratégia nos ajuda porque conseguimos anular vários termos!

Passo 2

Nossa função é:

x 4 - 3 x 2 + x x 3 - x + 2

Vamos olhar pro denominador da nossa função e procurar a variável de maior grau, aqui é x 3 . Agora vamos dividir todo mundo por x 3 :

x 4 x 3 - 3 x 2 x 3 + x x 3 x 3 x 3 - x x 3 + 2 x 3 = x - 3 x + 1 x 2 1 - 1 x 2 + 2 x 3

Ficamos com:

l i m x → ∞ x - 3 x + 1 x 2 1 - 1 x 2 + 2 x 3

Passo 3

Lembrando que:

  • O limite da divisão é a divisão dos limites
  • O limite da soma é a soma dos limites

l i m x → ∞ x - 3 x + 1 x 2 1 - 1 x 2 + 2 x 3 = l i m x → ∞ x - l i m x → ∞ 3 x + l i m x → ∞ 1 x 2 l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 1 x 2 + l i m x → ∞ 2 x 3

O que queríamos aconteceu! Conseguimos anular vários termos. Lembra que uma divisão por tende a zero? Assim, temos:

l i m x → ∞ 3 x = 0

l i m x → ∞ 1 x 2 = 0

l i m x → ∞ 1 x 2 = 0

l i m x → ∞ 2 x 3 = 0

Então a expressão fica:

l i m x → ∞ x - l i m x → ∞ 3 x + l i m x → ∞ 1 x 2 l i m x → ∞ 1 - l i m x → ∞ 1 x 2 + l i m x → ∞ 2 x 3 = l i m x → ∞ x l i m x → ∞ 1

O limite de uma constante é a própria constante:

l i m x → ∞ x l i m x → ∞ 1 = l i m x → ∞ x

E finalmente chegamos no nosso resultado:

l i m x → ∞ x = ∞

Logo: lim x → ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 + x x 3 - x + 2 = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 4 - 3 x 2 + x x 3 - x + 2 = ∞

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41-44. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.42. Se y = L for uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) , então: lim x → - ∞ ⁡ f x = Lelim x → + ∞ ⁡ f x = L