Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que ele não existe:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? 😎

Nesse problema queremos calcular o limite

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Quando temos que calcular o limite de uma razão de polinômios em que o numerador tem um grau menor ou igual ao denominador, uma maneira muito interessante é dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior grau.

Veja só! 😉

Passo 2

Realmente, o grau do numerador é aparentemente diferente no denominador, mas podemos forçar o grau deles serem iguais colocando x 6 em evidencia no numerador e x 3 em evidencia no denominador...

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3 → lim x → ∞ ⁡ x 6 1 x 6 + 4 x 3 2 x 3 - 1

E no caso de uma multiplicação a gente pode tirar uma parte da raiz (Lembra que em uma soma não pode tirar dá raiz), então:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3 = lim x → ∞ ⁡ x 3 1 x 6 + 4 x 3 2 x 3 - 1

Simplificando o numerador com o denominador, temos

lim x → ∞ ⁡ x 3 1 x 6 + 4 x 3 2 x 3 - 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 6 + 4 2 x 3 - 1

E aplicando o limite, vemos que os termos 1 x 6 e 2 x 3 vão tender a 0 já que temos um numero relativamente pequeno sendo dividido por um numero muito grande...

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 6 + 4 2 x 3 - 1 = 0 + 4 0 - 1

Percebe porque foi interessante dividir pelo termo de maior grau? Quando fazemos isso, conseguimos zerar vários termos.

O limite então fica:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3 = - 2

E aí! O que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x 6 2 - x 3 = - 2

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