Enunciado

O que pode ser dito a respeito do limite lim x → 0 ⁡   ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x , se houver ?

Passo 1

Como desejamos saber o que acontece coma função quando x → 0 , vamos analisar os limites laterais. Ou seja, x → 0 + e x → 0 - . Vamos lá?

Se você voltar dois itens (item c), já fizemos as contas para x → 0 - e vimos que

lim x → 0 - ⁡   ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x = ∞

Então, agora faremos apenas lim x → 0 + ⁡   ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x  

Passo 2

Vamos para as contas!

Perceba que se aplicarmos o limite

l i m x → 0 - x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x

O numerador nos resulta 2, enquanto o denominador se anula . Quando isso acontece, nosso limite tende à .

Passo 3

Vamos analisar se o limite tende para o infinito positivamente ou negativamente, certo?

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 3 x + 2 , teremos que   x = 2   e   x = 1 são raízes, então reescreveremos x 2 - 3 x + 2 =   x - 2 x - 1 .

E, colocando x em evidência no denominador, ou seja x ( x 2 - 4 ) , temos que x 3 - 4 x =   x x 2 - 4 . Usando Bháskara em x 2 - 4 , temos que x 3 - 4 x =   x x - 2 x + 2 .

Substituindo as igualdades lá no limite,

l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x =   l i m x → 0 + x - 2 x - 1   x ( x + 2 ) x - 2

Passo 4

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

l i m x → 0 + x - 2 x - 1 x ( x + 2 ) x - 2 =   l i m x → 0 + ( x - 1 ) x ( x + 2 )

Passo 5

Como se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0 , o numerador assume valores negativos, já no denominador ficaríamos com 2 > 0 multiplicado por um número positivo. Ou seja,

n e g a t i v o p o s i t i v o ⋅ p o s i t i v o = n e g a t i v o p o s i t i v o = n e g a t i v o

Logo,

l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x = - ∞

Passo 6

Como lim x → 0 - ⁡   ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x = ∞ e l i m x → 0 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x = - ∞

Ou seja, os limites laterais são distintos, então o limite não existe.

Resposta

l i m x → 0 x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x não existe.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o limite lim t → 0 ⁡ 3 + x 2 x 2
Ache o limite lim t → 2 - ⁡ t + 2 t 2 - 4
Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind
Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite lim x → 4 - ⁡ 16 - x 2 x - 4
Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind