Enunciado

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim ( x , y , z ) → ( 0,0 ) ⁡ x y + y z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

f x , y , z = x y + y z 2 + x z 2 x 2 + y 2 + z 2

De cara já podemos ver que f ( x , y , z ) não é continua no ponto ( 0,0 , 0 ) já que o denominador irá zerar, e isso não pode ocorrer nunca, jamais.

Passo 2

Para sabermos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y , z ) ao longo do eixo x :

f x , 0,0 = 0

Agora, vamos aproximar, f ( x , y , z ) ao longo do eixo y :

f 0 , y , 0 = 0

Analogamente,

f 0 , 0 , z = 0

Vamos aproximar, então, ao longo da reta y = x :

f x , x , 0 = x ⋅ x + x ⋅ 0 2 + x ⋅ 0 2 x 2 + x 2 + 0 2 = x 2 2 x 2 = 1 2

Como f x , y , z tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Nos Exercícios 49 e 50, mostre que os limites não existem. lim x , y → 1 ,1 ⁡ x y 2 - 1 y - 1
Mostre que a função no Exemplo 6 tem limite 0 ao longo de cada linha reta se aproximando de ( 0 ,0 ) .
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