Enunciado

Encontre o limite.

lim x → 0 ⁡ cosssec ⁡ x - 1 x

Passo 1

Primeiramente vamos organizar isso daí que a gente tem.

Escrevemos c o s s e c x = 1 s e n ( x ) . Em seguida fazemos a diferença dentro do limite.

lim x → 0 ⁡ cosssec ⁡ x - 1 x

lim x → 0 ⁡ 1 s e n x - 1 x

lim x → 0 ⁡ x - s e n x x   s e n ( x )

Passo 2

Aplicando a regra de L’hopital temos:

lim x → 0 ⁡ x - s e n x x   s e n ( x )

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) s e n x + x   c o s ⁡ ( x )

Colocando x cos ⁡ x em evidência no denominador temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x cos ⁡ x ( s e n x x c o s x + 1 )

Podemos então pela regra do produto separar em 3 limites.

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x × lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x × lim x → 0 ⁡ 1 ( s e n x x c o s x + 1 )

Passo 3

Do primeiro limite temos:

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1 cos ⁡ 0 = 1

Do segundo limite temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( x ) x

Aplicando L’hopital:

lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) 1 = 0

Ou seja, temos

1 × 0 × a l g u m a   c o i s a

Independente desse “alcuma coisa” nosso limite dá zero por conta desse segundo limite que encontramos zero como resultado. De toda forma, vamos calculá-lo.

Passo 4

No terceiro limite temos:

lim x → 0 ⁡ 1 ( s e n x x c o s x + 1 )

Calculando o limite do denominador temos:

lim x → 0 ⁡ s e n x x c o s x + 1

Pela regra do produtor podemos separar em:

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x × lim x → 0 ⁡ s e n x x + 1

O limite de 1 sobre cosseno quando x tende a zero vai pra 1 mesmo, então temos que resolver seno de x sobre x.

lim x → 0 ⁡ s e n x x

Por L’hopital teremos:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x = 1

Temos então 1 × 1 + 1 = 2 Vale lembrar que esse é o resultado o limite do denominador só. Juntando tudo ficamos então com 1 2 , tranquilo?

Resposta final então fica:

1 × 0 × 1 2 = 0

Resposta

0

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