Mostre que com qualquer n inteiro positivo

lim x → ∞ ⁡ x n ln ⁡ x = ∞

Passo 1

Observe que inicialmente, quando x tende a infinito, temos um limite do tipo ∞ ∞ .   Se aplicarmos l’hopital n vezes, chegaremos a um ponto onde o polinômio no numerador viraria uma constante, enquanto a derivada do ln só subiria o valor de seu expoente. Veja o exemplo, suponde que o n valha 3.

lim x → ∞ ⁡ x 3 ln ⁡ x

Vamos então aplicar L' hopital :

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 1 x

Aplicando mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ 6 x - 1 x 2

Por último:

lim x → ∞ ⁡ 6 2 x 3

Observa como chega em um momento onde o numerador se torna uma contante, enquanto o expoente no denominador só cresce... isso faz com que tenhamos uma fração embaixo, que tende para zero, dividindo uma contante n numerador. Logo, como resultado, teremos sempre , afinal de contas contante divido por zero nos da , independente do valor inicial de n   nesse limite.

Passo 2

Outra forma de perceber isso seria pela velocidade de crescimento das funções. O menor valor possível para n seria 1. Ao observarmos as funções f x = x e f x = ln ⁡ x podemos observar que a função f x = x cresce muito mais rápido do que o ln ⁡ x , logo se aproxima primeiro de infinito, logo teríamos uma contante dividindo por infinito que ainda nos dá infinito como resultado.

lim x → ∞ ⁡ x n ln ⁡ x = ∞

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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