Encontre o limite.

lim x → π 2 - ⁡ t g x π 2 - x

Passo 1

Primeiramente vamos reorganizar isso daí que a gente tem aplicando a propriedade do logarítiomo e exponencial pra descer esse expoente. Ficamos com:

lim x → π 2 - ⁡ e x p ⁡ ( ln ⁡ t g x π 2 - x )

lim x → π 2 - ⁡ e x p ⁡ ( ( π 2 - x ) ln ⁡ t g x )

exp ⁡ lim x → π 2 - ⁡ ln ⁡ ( l n x ) 1 π 2 - x

Passo 2

Aplicando a regra de l’hospital temos então:

exp ⁡ lim x → π 2 - ⁡ sec 2 ⁡ x t g x 1 - π 2 + x 2

exp ⁡ lim x → π 2 - ⁡ sec 2 ⁡ x π - 2 x 2 4 t g x

Agora vou separar esse limite em dois limites diferentese trocar a secante por 1 cos ⁡ x :

exp ⁡ l i m x → π 2 - π - 2 x cos ⁡ x 2 l i m x → π 2 - 4 t g x

Passando esse expoente pra fora do limite e aplicando a regra de l’hopital no limite de cima:

l i m x → π 2 - π - 2 x cos ⁡ x 2

l i m x → π 2 - 2 s e n x 2 = 2 2 = 4

Passo 3

Trazendo de volta o limite do numerador temos:

exp ⁡ l i m x → π 2 - π - 2 x cos ⁡ x 2 l i m x → π 2 - 4 t g x

exp ⁡ 4 ∞

exp ⁡ 0 = 1

Resposta

1

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