Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em utilizar as propriedades e técnicas utilizadas para resolver limites para encontrar um valor para o limite da questão.

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos multiplicar e dividir a função por x 2 + a x + x 2 + b x

lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x ( x 2 + a x + x 2 + b x ) x 2 + a x + x 2 + b x

Dessa forma, temos uma diferença de quadrados no numerador e podemos reescrever o limite da seguinte maneira

lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x 2 - x 2 + b x 2   x 2 + a x + x 2 + b x

= lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x   -   x 2 - b x   x 2 + a x + x 2 + b x

= lim x → ∞ ⁡ a x - b x   x 2 + a x + x 2 + b x

Passo 3

Iremos agora multiplicar o numerador e o denominador por 1 x , ficando com

lim x → ∞ ⁡ a x - b x x   x 2 + a x + x 2 + b x x 2

= lim x → ∞ ⁡ a - b   1 + a x + 1 + b x

Substituindo o valor do limite, temos

a - b 1 + 1 = a - b 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x = a - b 2

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