Enunciado

Dê exemplo de funções f e g tais que underset(x -> + oo)(lim) f (x) = + oo , underset(x -> + oo)(lim) g (x) = + oo e underset(x -> + oo)(lim) [f (x) - g (x)] != 0 .

Passo 1

Para que tenhamos underset(x -> + oo)(lim) [f (x) - g (x)] != 0 devemos considerar:

underset(x -> + oo)(lim) [f (x) - g (x)] != 0

underset(x -> + oo)(lim) f (x) - underset(x -> + oo)(lim) g (x) != 0

underset(x -> + oo)(lim) f (x) != underset(x -> + oo)(lim) g (x)

f (x) != g (x)

Passo 2

Então vamos pensar em duas funções f ( x ) e g ( x ) tal que underset(x -> + oo)(lim) f (x) = + oo , underset(x -> + oo)(lim) g (x) = + oo . Nós podemos escolher quaisquer pares de funções em que sabemos que o limites quando x tende para o infinito o valor da função também vai para infinito, também precisamos tomar cuidado para que f ( x ) != g ( x ) , ok?

Temos que ter que quando x está indo para o infinito, o y também vai.

Então podemos pensar por exemplo em uma reta crescente ou uma parábola com a concavidade para cima, certo? Porque olha: o gráfico das duas vai para o infinito quando x também vai:

Então, se pegarmos f (x) = x e g (x) = x ² , estaremos cumprindo com os nossos dois primeiros requisitos:

underset(x -> + oo)(lim) x = + oo

underset(x -> + oo)(lim) x^2 = + oo

Agora vamos ver se nossa escolha também cumpre o terceiro, requisito que é:

underset(x -> + oo)(lim) [f (x) - g (x)] != 0

Substituindo nossas funções escolhidas no cálculo do limite, teremos:

underset(x -> + oo)(lim) [x - x ²]

Ao calcular esse nosso novo limite, vemos que temos um polinômio onde termo de maior grau é o - x^2 , e por ser o termo de maior grau em um limite onde x tende ao infinito seu valor vai predominar no resultado do limite, pois ele vai para o infinito mais rápido que os outros termos. Mas repare que ele é negativo, então:

underset(x -> + oo)(lim) [x - x^2] = - oo

Como isso, comprovamos que

underset(x -> + oo)(lim) [f (x) - g (x)] != 0

Comprovando que as funções f (x) = x e g (x) = x^2 são boas escolhas.

Resposta

f (x) = x

g (x) = x ²

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Faça um esboço da curva y = x n (n um inteiro) para os cinco casos abaixo:(i) n=0(ii) n0, n impar (iii) n0, n par(iv) n(v) Então use este esboço para encontrar os seguintes limites. lim x → 0 - ⁡ x n
Calcule o limite.underset(t - oo)(lim) (t + 1)/(t^2 + 1)
Calcule o limite. lim t → - ∞ ⁡ t + 1 t 2 + 1
Calcule o limite. lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 x + 1 x
Calcule o limite.underset(x - oo)(lim) (3 x^3 + 4 x^2 - 1)