Dê exemplo de funções f e g tais que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ , lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ e lim x → + ∞ ⁡ f x - g x ≠ 0 .

Passo 1

Para que tenhamos lim x → + ∞ ⁡ f x - g x ≠ 0 devemos considerar:

lim x → + ∞ ⁡ f x - g x ≠ 0

lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ g x ≠ 0

lim x → + ∞ ⁡ f x ≠ lim x → + ∞ ⁡ g x

f x ≠ g x

Passo 2

Então vamos pensar em duas funções f ( x ) e g ( x ) tal que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ , lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ . Nós podemos escolher quaisquer pares de funções em que sabemos que o limites quando x tende para o infinito o valor da função também vai para infinito, também precisamos tomar cuidado para que f ( x ) ≠ g ( x ) , ok?

Temos que ter que quando x está indo para o infinito, o y também vai.

Então podemos pensar por exemplo em uma reta crescente ou uma parábola com a concavidade para cima, certo? Porque olha: o gráfico das duas vai para o infinito quando x também vai:

Então, se pegarmos f x = x e g x = x ² , estaremos cumprindo com os nossos dois primeiros requisitos:

lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 2 = + ∞

Agora vamos ver se nossa escolha também cumpre o terceiro, requisito que é:

lim x → + ∞ ⁡ f x - g x ≠ 0

Substituindo nossas funções escolhidas no cálculo do limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x - x ²

Ao calcular esse nosso novo limite, vemos que temos um polinômio onde termo de maior grau é o - x 2 , e por ser o termo de maior grau em um limite onde x tende ao infinito seu valor vai predominar no resultado do limite, pois ele vai para o infinito mais rápido que os outros termos. Mas repare que ele é negativo, então:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 = - ∞

Como isso, comprovamos que

lim x → + ∞ ⁡ f x - g x ≠ 0

Comprovando que as funções f x = x e g x = x 2 são boas escolhas.

Resposta

f x = x

g x = x ²

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