Enunciado

9-Sejam f e g duas funções definidas em ] a ,   + ∞ [ tais que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ e g x > 0 para todo x > a . Prove que existem r > 0 tal que para todo x > r ,   f x > g x .

Passo 1

Galerinda, pela definição deste limite, temos que, para todo k > 0 existe r > 0 , tal que, para todo x > r , existe f x g x > k .

Agora vamos atribuir valores de k .

Passo 2

Agora, podemos tomar k = 1 e, considerando o respectivo x > r , vemos que

f x g x > 1

Como g x > 0 para todo x , podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por g x . Ficamos assim,

f x . g x g x > 1 . g x

Ou seja, obtemos

f x > g ( x )

Lembrando que isso vale para todo x > r .

Fim!

Resposta

Demonstração acima.

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49. Seja g x = x 2 + x - 6 x - 2 ( i ) . lim x → 2 + ⁡ g ( x ) ( i i ) . lim x → 2 - ⁡ g ( x ) lim x → 2 ⁡ g ( x ) existe?Esboce o gráfico de g .
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Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.28 lim x → - ∞ ⁡ x 3
Encontre os limites quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11. y = 1 - x ( x - 3 ) 2 x - 5 2
Encontre os limites quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11. y = x 2 x - 2 1 - x