Encontre o limite.

lim x → 0 + ⁡ x s e n x

Passo 1

Primeiramente vamos reorganizar isso daí que a gente tem aplicando a propriedade do logarítiomo e exponencial pra descer esse expoente. Ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ e x p ⁡ ( l n ⁡ ( x s e n x ) )

lim x → 0 + ⁡ e x p ⁡ ( s e n   x   l n ⁡ ( x ) )

Isso pode ainda ser reescrito como:

e x p lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x

Passo 2

Aplicando L’hopital temos:

e x p lim x → 0 + ⁡ 1 x - c o s x s e n 2 x

e x p lim x → 0 + ⁡ - s e n 2 x x c o s x

Pela regra do produto podemos reparar isso em:

exp ⁡ lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x × lim x → 0 + ⁡ - 1 c o s x

O limite com cossenoda -1, certo? Resolvendo então o limite com seno aplicando l’hopital.

lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x

lim x → 0 + ⁡ 2 s e n x c o s x 1 = 0

No final então temos:

e 0 × 1 = e 0 = 1

Resposta

1

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