Enunciado

Encontre o limite.

underset(x -> 0)(lim) cosssec x - (1)/(x)

Passo 1

Primeiramente vamos organizar isso daí que a gente tem.

Escrevemos c o s s e c (x) = (1)/(s e n ( x )) . Em seguida fazemos a diferença dentro do limite.

underset(x -> 0)(lim) cosssec x - (1)/(x)

underset(x -> 0)(lim) (1)/(s e n x) - (1)/(x)

underset(x -> 0)(lim) (x - s e n (x))/(x s e n ( x ))

Passo 2

Aplicando a regra de L’hopital temos:

underset(x -> 0)(lim) (x - s e n (x))/(x s e n ( x ))

underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s ( x ))/(s e n (x) + x c o s ( x ))

Colocando x cos x em evidência no denominador temos:

underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s ( x ))/(x cos x ( (s e n x)/(x c o s x) + 1 ))

Podemos então pela regra do produto separar em 3 limites.

underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) xx underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s ( x ))/(x) xx underset(x -> 0)(lim) (1)/(( (s e n x)/(x c o s x) + 1 ))

Passo 3

Do primeiro limite temos:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) = (1)/(cos 0) = 1

Do segundo limite temos:

underset(x -> 0)(lim) (1 - c o s ( x ))/(x)

Aplicando L’hopital:

underset(x -> 0)(lim) (s e n ( x ))/(1) = 0

Ou seja, temos

1 xx 0 xx a l g u m a c o i s a

Independente desse “alcuma coisa” nosso limite dá zero por conta desse segundo limite que encontramos zero como resultado. De toda forma, vamos calculá-lo.

Passo 4

No terceiro limite temos:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(( (s e n x)/(x c o s x) + 1 ))

Calculando o limite do denominador temos:

underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x c o s x + 1)

Pela regra do produtor podemos separar em:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) xx underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) + 1

O limite de 1 sobre cosseno quando x tende a zero vai pra 1 mesmo, então temos que resolver seno de x sobre x.

underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x)

Por L’hopital teremos:

underset(x -> 0)(lim) cos x = 1

Temos então 1 xx 1 + 1 = 2 Vale lembrar que esse é o resultado o limite do denominador só. Juntando tudo ficamos então com (1)/(2) , tranquilo?

Resposta final então fica:

1 xx 0 xx (1)/(2) = 0

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. lim x → π 2 - ⁡ t g x π 2 - x
Encontre o erro nos seguintes cálculos:E em seguida encontre a resposta crreta:
Mostre que com qualquer n inteiro positivo lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x n = 0
Mostre que com qualquer n inteiro positivo lim x → ∞ ⁡ x n ln ⁡ x = ∞