Encontre os limite:

lim θ → π 2 - ⁡ 4 tg 2 ⁡ θ + tg ⁡ θ + 1 tg 2 ⁡ θ + 5

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim θ → π 2 - ⁡ 4 tg 2 ⁡ θ + tg ⁡ θ + 1 tg 2 ⁡ θ + 5

Quando θ vai par a π 2 pela esquerda, a nossa tangente vai para + ∞ , então isso vai dar uma indeterminação.

O que podemos fazer aqui é uma mudança de variável nesse θ , fazendo:

tg ⁡ θ = x

Assim, temos:

θ → π 2 - ∴ x = tg ⁡ θ → + ∞

O nosso limite vai ficar:

lim θ → π 2 - ⁡ 4 tg 2 ⁡ θ + tg ⁡ θ + 1 tg 2 ⁡ θ + 5 = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 + x + 1 x 2 + 5

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

4 x 2 + x + 1 x 2 + 5

Passo 2

O nosso numerador é

4 x 2 + x + 1

Colocando x 2 em evidência

x 2 4 + 1 x + 1 x 2

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x 2 + 5

Colocando x 2 em evidência

x 2 1 + 5 x 2

Passo 4

A nossa fração vai ficar

4 x 2 + x + 1 x 2 + 5 = x 2 4 + 1 x + 1 x 2 x 2 1 + 5 x 2 = 4 + 1 x + 1 x 2 1 + 5 x 2

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 + x + 1 x 2 + 5 = lim x → + ∞ ⁡ 4 + 1 x + 1 x 2 1 + 5 x 2

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 4 + 1 x + 1 x 2 1 + 5 x 2 = 4 + 0 + 0 1 + 0 + 0 = 4

Resposta

4

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