Enunciado

Encontre os limite:

lim θ → 0 + ⁡ 1 - 2 cotg 2 ⁡ θ 5 cotg 2 ⁡ θ - 7 cotg ⁡ θ - 8

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim θ → 0 + ⁡ 1 - 2 cotg 2 ⁡ θ 5 cotg 2 ⁡ θ - 7 cotg ⁡ θ - 8

Quando θ vai par a 0 pela direita, a nossa cotangente vai para + ∞ , então isso vai dar uma indeterminação.

O que podemos fazer aqui é uma mudança de variável nesse θ , fazendo:

co tg ⁡ θ = x

Assim, temos:

θ → 0 + ∴ x = co tg ⁡ θ → + ∞

O nosso limite vai ficar:

lim θ → 0 + ⁡ 1 - 2 cotg 2 ⁡ θ 5 cotg 2 ⁡ θ - 7 cotg ⁡ θ - 8 = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 2 5 x 2 - 7 x - 8

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

1 - 2 x 2 5 x 2 - 7 x - 8

Passo 2

O nosso numerador é

1 - 2 x 2

Colocando x 2 em evidência

x 2 1 x 2 - 2

Passo 3

O nosso denominador vai ser

5 x 2 - 7 x - 8

Colocando x 2 em evidência

x 2 5 - 7 x - 8 x 2

Passo 4

A nossa fração vai ficar

1 - 2 x 2 5 x 2 - 7 x - 8 = x 2 1 x 2 - 2 x 2 5 - 7 x - 8 x 2 = 1 x 2 - 2 5 - 7 x - 8 x 2

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 2 5 x 2 - 7 x - 8 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 - 2 5 - 7 x - 8 x 2

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 - 2 5 - 7 x - 8 x 2 = 0 - 2 5 - 0 - 0 = - 2 5

Resposta

- 2 5

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lim x → π + ⁡ tan ⁡ x x - π (Sugestão: seja t = x - π )
lim x → 0 ⁡ tan 4 ⁡ 2 x 4 x 4
lim z → 0 ⁡ 1 -cos ⁡ 2 z 4 z
lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y - 1
Ache o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t sin ⁡ 2 t