Enunciado

Encontre os limite:

underset(theta -> 0^+)(lim) (1 - 2 cotg^2 theta)/(5 cotg^2 theta - 7 cotg theta - 8)

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

underset(theta -> 0^+)(lim) (1 - 2 cotg^2 theta)/(5 cotg^2 theta - 7 cotg theta - 8)

Quando theta vai par a 0 pela direita, a nossa cotangente vai para + oo , então isso vai dar uma indeterminação.

O que podemos fazer aqui é uma mudança de variável nesse theta , fazendo:

co tg theta = x

Assim, temos:

theta -> 0^+ :. x = co tg theta -> + oo

O nosso limite vai ficar:

underset(theta -> 0^+)(lim) (1 - 2 cotg^2 theta)/(5 cotg^2 theta - 7 cotg theta - 8) = underset(x -> + oo)(lim) (1 - 2 x^2)/(5 x^2 - 7 x - 8)

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para oo .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

(1 - 2 x^2)/(5 x^2 - 7 x - 8)

Passo 2

O nosso numerador é

1 - 2 x^2

Colocando x^2 em evidência

x^2 ((1)/(x^2) - 2)

Passo 3

O nosso denominador vai ser

5 x^2 - 7 x - 8

Colocando x^2 em evidência

x^2 (5 - (7)/(x) - (8)/(x^2))

Passo 4

A nossa fração vai ficar

(1 - 2 x^2)/(5 x^2 - 7 x - 8) = (x^2 ((1)/(x^2) - 2))/(x^2 (5 - (7)/(x) - (8)/(x^2))) = ((1)/(x^2) - 2)/(5 - (7)/(x) - (8)/(x^2))

Agora, vamos tomar o limite

underset(x -> + oo)(lim) (1 - 2 x^2)/(5 x^2 - 7 x - 8) = underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(x^2) - 2)/(5 - (7)/(x) - (8)/(x^2))

Lembrando que o limite de um número sobre oo é sempre 0 , vamos ter

underset(x -> + oo)(lim) ((1)/(x^2) - 2)/(5 - (7)/(x) - (8)/(x^2)) = (0 - 2)/(5 - 0 - 0) = - (2)/(5)

Resposta

- (2)/(5)

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lim z → 0 ⁡ 1 -cos ⁡ 2 z 4 z
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Ache o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t sin ⁡ 2 t