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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x

Passo 1

Devemos calcular o limite usando, se for possível, a regra de L’Hospital. É importante lembrar que só podemos usar essa regra se o limite for indeterminado do tipo 0/0 ou / .

Eu sei que agora que você sabe a regra de L’Hospital você vai querer usar ela toda hora, mas tome cuidado, ela pode ser traiçoeira: se der, evite usá-la!!!

Passo 2

O limite é uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ : não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda! Vamos brincar um pouco com a expressão:

x 2 + x - x = x 2 1 + 1 x - x

Como x > 0 no limite,

x 2 1 + 1 x - x = x 1 + 1 x - 1

Então

lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x = lim x → ∞ ⁡ x 1 + 1 x - 1

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 . Vamos fazer uma mudança de variável: t = 1 / x . Assim, quando x → ∞ , t → 0 e, além disso, x = 1 / t . Desta forma,

lim x → ∞ ⁡ x 1 + 1 x - 1 = lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 t

Finalmente chegamos em algo interessante: uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Agora que temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 t = lim t → 0 ⁡ 1 2 1 + t 1 = lim t → 0 ⁡ 1 2 1 + t = 1 2

Resposta

1 / 2 .

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