Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 57
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível.
Antes de aplicarmos a regra, devemos verificar o tipo de indeterminação!!!
Passo 2
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo . Assim, precisamos brincar um pouco com o limite. Usando que , temos que
Desta forma, o limite que nos interessa é
Note que isto é uma indeterminação do tipo , de modo que não podemos usar a regra ainda.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável , assim quando , e, além disso, . Assim, o limite fica
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!
Passo 4
Derivando tanto o numerador como o denominador:
*A derivada de foi feita usando a regra da cadeia:
Portanto,
Resposta
.