Enunciado

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2 x

Passo 1

Devemos calcular o limite da forma que julgarmos mais conveniente, inclusive usando a regra de L’Hospital se for possível.

Antes de aplicarmos a regra, devemos verificar o tipo de indeterminação!!!

Passo 2

Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 1 ∞ . Assim, precisamos brincar um pouco com o limite. Usando que y = e ln ⁡ y , temos que

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2 x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2 x = e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2

Desta forma, o limite que nos interessa é

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2

Note que isto é uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 , de modo que não podemos usar a regra ainda.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável t = 1 / x , assim quando x → ∞ , t → 0 e, além disso, x = 1 / t . Assim, o limite fica

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2 = lim t → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + 3 t + 5 t 2 ) t

Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital!!!

Passo 4

Derivando tanto o numerador como o denominador:

lim t → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + 3 t + 5 t 2 t = lim t → 0 ⁡ ( 3 + 10 t ) / ( 1 + 3 t + 5 t 2 ) 1 = lim t → 0 ⁡ 3 + 10 t 1 + 3 t + 5 t 2 = 3

*A derivada de ln ⁡ ( 1 + 3 t + 5 t 2 ) foi feita usando a regra da cadeia:

ln ⁡ 1 + 3 t + 5 t 2 ' = 1 1 + 3 t + 5 t 2 ⋅ 1 + 3 t + 5 t 2 ' = 3 + 10 t 1 + 3 t + 5 t 2

Portanto,

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x + 5 x 2 x = e 3

Resposta

e 3 .

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 1 + x 1 / x - 1
Determine o limite: lim x → 0 + ⁡ x - 1 l n x