Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 77
Se um montante inicial de dinheiro for investido a uma taxa de juros capitalizados vezes ao ano, o valor do investimento após anos será
Se , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use a regra de L’Hospital para mostrar que se os juros forem capitalizados continuamente, então o montante após anos será
Passo 1
O enunciado nos deu uma expressão para o montante de um investimento e deseja saber o que ocorre no limite com fixo e .
Para isso, vamos calcular o limite usando a regra de L’Hospital.
Passo 2
Quando , temos uma indeterminação do tipo . Assim, antes de aplicarmos a regra de L’Hospital, temos que modificar um pouco o limite.
Sabemos que , assim
Assim,
Desta forma, o limite que nos interessa calcular é
Passo 3
Vamos fazer a mudança de variável , assim quando , . O limite fica:
Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital:
Assim,
Resposta
Demonstração.