Enunciado

Se um montante inicial de dinheiro A 0 for investido a uma taxa de juros i capitalizados n vezes ao ano, o valor do investimento após t anos será

A = A 0   1 + t n n t

Se n → ∞ , nos referimos à capitalização contínua de juros. Use a regra de L’Hospital para mostrar que se os juros forem capitalizados continuamente, então o montante após t anos será

A = A 0   e r t

Passo 1

O enunciado nos deu uma expressão para o montante de um investimento e deseja saber o que ocorre no limite com t fixo e n → ∞ .

Para isso, vamos calcular o limite l i m n → ∞   A usando a regra de L’Hospital.

Passo 2

Quando n → ∞ , temos uma indeterminação do tipo 1 + t ∞ ∞ t . Assim, antes de aplicarmos a regra de L’Hospital, temos que modificar um pouco o limite.

Sabemos que y = e l n   y , assim

A = e l n   A = e l n ⁡ ( A 0 ( 1 + r n ) n t )

= e l n   A 0   e n t ln ⁡ 1 + r n

= A 0   e n t   l n ( 1 + r / n )

Assim,

l i m n → ∞ A = A 0   l i m n → ∞ e n t ln ⁡ 1 + r n

= A 0   e l i m n → ∞   n t   l n ( 1 + r n )

Desta forma, o limite que nos interessa calcular é

l i m n → ∞   n t   l n ( 1 + r n )

Passo 3

Vamos fazer a mudança de variável x = 1 n , assim quando n → ∞ , x → 0 . O limite fica:

l i m n → ∞   n t   l n ( 1 + r n ) = t   l i m x → 0 l n ( 1 + r x ) x

Agora temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital:

t   l i m x → 0 ln ⁡ 1 + r x x

= t   l i m x → 0 r 1 + r x   1

= t   l i m x → 0 r 1 + r x = r t

Assim,

l i m n → ∞ A = A 0   e r t

Resposta

Demonstração.

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