Enunciado

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x

Passo 1

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x → tg ⁡ p . 0 tg ⁡ q . 0 → tg ⁡ 0 tg ⁡ 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 2

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ p x . p x ' sec 2 ⁡ q x . q x ' = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ p x . p . x 1 - 1 sec 2 ⁡ q x . q . x 1 - 1 = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ p x . p . 1 sec 2 ⁡ q x . q . 1 = lim x → 0 ⁡ p sec 2 ⁡ p x q sec 2 ⁡ q x = lim x → 0 ⁡ p cos 2 ⁡ p x q cos 2 ⁡ q x = lim x → 0 ⁡ p cos 2 ⁡ p x cos 2 ⁡ q x q = p cos 2 ⁡ p . 0 cos 2 ⁡ q . 0 q = p 1 2 1 2 q = p q

Resposta

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ p x tg ⁡ q x = p q

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3   x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t g   x x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2