Enunciado

Calcule

d) underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Perceba que há uma indeterminação do tipo “ (0)/(0)

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = (0 - 0)/(0) = (0)/(0)

Então vamos aplicar L’Hospital para resolver esse limite!

Passo 2

Vamos derivar o numerador e denominador

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) ((x - t g x) ')/((x^3)^')

Derivando ficamos com,

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = underset(x -> 0)(lim) (1 - sec^2 x)/(3 x^2)

Lembrando que (tg x) ' = sec^2 x .

A gente ainda pode reescrever essa função de outra forma aplicando a seguinte identidade trigonométrica,

sec^2 x = 1 + tg^2 x

Logo,

underset(x -> 0)(lim) (1 - (1 + t g^2 x))/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2)

Aplicando o limite, chegamos na mesma indeterminação,

underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2) = (0)/(0)

Vamos sair dessa indeterminação!

Passo 3

Vamos escrever o limite assim:

underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) - (((s e n x)/(cos x))^2)/(3 x^2) = underset(x -> 0)(lim) (- (1)/(3 cos^2 x)) ((s e n x)/(x))^2

A gente pode escrever esse limite como um produto,

underset(x -> 0)(lim) (- (1)/(3 cos^2 x)) ((s e n x)/(x))^2 = (underset(x -> 0)(lim) - (1)/(3 cos^2 x)) (underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x))^2

Assim, podemos fazer aparecer o limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(x) = 1 , o que simplifica a nossa vida:

underset(x -> 0)(lim) - (t g^2 x)/(3 x^2) = (underset(x -> 0)(lim) - (1)/(3 cos^2 x)) . 1 = underset(x -> 0)(lim) - (1)/(3 cos^2 x) = - (1)/(3)

Logo,

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = - (1)/(3)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (x - t g x)/(x^3) = - (1)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ s e n h x s e n x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 + ⁡ x 3 x 4 + ln ⁡ x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → + ∞ ⁡ x 99 e x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 3 ⁡ 6 - 2 x + 3 x 2 - x 3 x 4 - 3 x 3 - x + 3
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x c o t g x