Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 1 ⁡ x sen ⁡ ( x - 1 ) 2 x 2 - x - 1  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada ou não.

Analisando o limite dado pelo enunciado, vemos que quando x → 1 ,

x sen ⁡ x - 1 → 0

2 x 2 - x - 1 → 0

Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   .

Neste caso, obtemos a forma 0 0 e a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

Vamos chamar f x = x sen ⁡ ( x - 1 ) e g x = 2 x 2 - x - 1 . As derivadas dessas funções são

f ' x = sen ⁡ ( x - 1 ) + x cos ⁡ ( x - 1 )

g ' x = 4 x - 1

Em x = 1 , g ' 1 = 3 ≠ 0 . Portanto, está dentro das condições da Regra.

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → 1 ⁡ x sen ⁡ ( x - 1 ) 2 x 2 - x - 1   = lim x → 1 ⁡ sen ⁡ ( x - 1 ) + x cos ⁡ ( x - 1 ) 4 x - 1   = 0 + 1 1 4 - 1 = 1 3

Resposta

lim x → 1 ⁡ x sen ⁡ ( x - 1 ) 2 x 2 - x - 1   = 1 3

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