Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9  

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos apenas que calcular o limite

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9  

Parece complicado? 🤔

Nesse caso se aplicarmos o método de substituição, vamos cair em uma indeterminação 0 0 .

Portanto é necessário aplicar algum método para calcular esse limite.

A principio, como temos uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite e substituir o valor da variavel...

Bora lá! 😉

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

Vamos chamar f x = x - 3 e g x = x 2 - 9 . As derivadas dessas funções são

f ' x = 1

g ' x = 2 x ≠ 0

Portanto, está dentro das condições da Regra.

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9   = lim x → 3 ⁡ 1 2 x

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9   = 1 2 3

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9   = 1 6

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

O exercicio está finalizado, porem podemos resolve-lo por uma maneira diferente...

Se fatorarmos o denominador, chegamos em

x 2 - 9 = x - 3 x + 3

Substituindo no limite, chegamos em

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9   → lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3 x + 3  

lim x → 3 ⁡ 1 x + 3  

Aplicando o limite, temos

lim x → 3 ⁡ 1 x + 3   = 1 6

Bacana, não é? O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9   = 1 6

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