Enunciado

Se f ' é contínua, f (2) = 0 e f^' (2) = 7 , calcule:

underset(x -> 0)(lim) (f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x))/(x)

Passo 1

Opa! Bora arregaçar as mangas pra uma questãozinha de cálculo?! Nessa daqui precisamos calcular o seguinte limite:

underset(x -> 0)(lim) (f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x))/(x)

O enunciado também fala que f ' é contínua, f (2) = 0 e f^' (2) = 7 .

O problema aqui é que a gente não conhece f , então a melhor coisa que a gente pode fazer é ir comendo pelas beradas, usando as informações que o enunciado nos deu pra ver onde ela irá nos levar!

Passo 2

Vamos analisar o limite com os dados que foram dados.

Quando x -> 0 , teremos a seguinte situação:

underset(x -> 0)(lim) (f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x))/(x) = (f (2 + 3 (0)) + f (2 + 5 (0)))/(0) = (f (2) + f (2))/(0)

Opa, mas a gente conhece f ( 2 ) que é igual a zero, então temos uma indeterminação:

(f (2) + f (2))/(0) = (0)/(0)

Esse resultado não é a resposta que a gente quer, porém ele com certeza nos ajudou a encontrar qual método de resolução iremos usar.

E que método é esse? Muito bem! É a Regra de l’Hôspital.

Como obtemos uma forma indeterminada do tipo (0)/(0) quando x -> 0 , a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 3

Agora vamos encontrar este limite. Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, agora é só aplicá-la para que vai ser sucesso! Neste método temos que:

underset(x -> a)(lim) (h (x))/(g ( x )) = underset(x -> a)(lim) (h ' (x))/(g ' ( x ))

Vamos chamar h (x) = f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x) e g (x) = x . As derivadas dessas funções são:

h^' (x) = 3 f ' (2 + 3 x) + 5 f ' (2 + 5 x)

É claro que não conseguimos calcular de fato h^' (x) , mas usamos a regra da cadeia pra nos aproximarmos mais do resultado. Agora g ' ( x ) :

g^' (x) = 1

Substituindo esses valores, obtemos:

underset(x -> 0)(lim) (f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) 3 f ' (2 + 3 x) + 5 f ' (2 + 5 x)

Calculando o limite:

underset(x -> 0)(lim) 3 f ' (2 + 3 x) + 5 f ' (2 + 5 x) = 3 f ' (2) + 5 f ' (2)

Sabemos que f^' (2) = 7 , logo:

(3 f ' (2) + 5 f ' (2))/(1) = 3 (7) + 5 (7) = 56

Portanto:

underset(x -> 0)(lim) (f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x))/(x) = 56

Ufaa!

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (2 + 3 x) + f (2 + 5 x))/(x) = 56

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Encontre o erro nos seguintes cálculos:E em seguida encontre a resposta crreta:
Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital. y =
Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → π 2 - ⁡ 4 t g x 1 + sec ⁡ x
Faça uma conjectura sobre o limite traçando o gráfico da função envolvida com um recurso computacional; verifique sua conjuctura usando a regra de L’Hôpital. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x
Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital. y =