Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.

Bem, sabemos que para aplicarmos esta Regra temos que ter a seguinte estrutura no limite:

lim x → a ⁡ f x g ( x )

O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Escrevendo

x = 1 1 / x

Chegamos em

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - 1 x 1 / x  

Logo, temos que

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x   = lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - 1 x 1 / x  

Pronto!! Já podemos verificar se a regra é aplicável ou não.

Analisando o limite acima, vemos que quando x → ∞ ,

ln ⁡ 1 - 1 x → 0

1 / x → 0

Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   .

Neste caso, obtemos a forma 0 0 , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

Vamos chamar f x = ln ⁡ 1 - 1 x e g x = 1 / x . As derivadas dessas funções são

f ' x = 1 1 - 1 x 1 x 2 = 1 x - 1 x 1 x 2 = 1 x - 1 x

g ' x = - 1 x 2

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 1 x - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x - 1 - x

Dividindo o numerador denominador por x , chegamos em

lim x → - ∞ ⁡ - 1 1 - 1 / x = - 1

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x   = - 1

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