Enunciado

O gráfico da função f e sua reta tangente em 0 estão exibidos abaixo. Qual é o valor de lim x → 0 ⁡ f x e x - 1 ?

Passo 1

O enunciado nos apresenta o gráfico de f e pede para determinarmos

lim x → 0 ⁡ f x e x - 1

Primeiramente, vamos chamar

g x = e x - 1

Desta maneira, teremos um limite da seguinte forma

lim x → a ⁡ f x g ( x )

Queremos saber o valor do limite quando x → 0 .

Através do gráfico dado, vemos que o limite da função f ( x ) → 0 quando x → 0 . O limite da função g ( x ) também tenderá à zero uma vez que e x - 1 → 0 quando x → 0 .

Logo, temos uma forma indeterminada do tipo 0 0 .

O melhor jeito de resolver limites que apresentam essa forma é através da Regra de l’Hôspital.

Passo 2

Sabemos que na Regra de l’Hôspital temos que

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

No passo anterior, definimos que g x = e x - 1 , logo

g ' x = e x ≠ 0

Portanto, está dentro das condições da Regra.

Porém, quem será f ' ( x ) se não nos foi dado o valor de f ( x ) ? Sabemos que a derivada de uma função em um dado ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à esta curva da função no ponto P .

Ao olhar o gráfico dado pelo enunciado, vemos que a reta y = x é tangente a função f ( x ) no ponto 0 , portanto o seu coeficiente angular será igual ao coeficiente angular de f ( x ) neste ponto. Como o coeficiente de y = x é igual a constante 1 em x = 0 , temos que

f ' x = 1

neste mesmo ponto.

Aplicando a Regra de l’Hôspital, obtemos

lim x → 0 ⁡ f x g ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ' x g ' ( x )

lim x → 0 ⁡ f x e x - 1 = lim x → 0 ⁡ 1 e x = 1 1 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x e x - 1 = 1

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