Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método maiselementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 0 + ⁡ 1 + sen ⁡ 3 x 1 / x  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.

Analisando o limite dado

lim x → 0 + ⁡ 1 + sen ⁡ 3 x 1 / x  

vemos que temos uma situação com potência.

Quando isso acontece, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x )  

Utilizando as informações do enunciado, podemos chamar

f x = 1 + sen ⁡ 3 x

g x = 1 x

Para que a Regra de l’Hôspital seja apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 , ∞ 0 ou 1 ∞ quando x → a .

Na nossa questão, quando x → 0 + , nós temos que

f x = 1 + sen ⁡ 3 x → 1

g x = 1 x → ∞

Logo, nós obtemos a forma 1 ∞ , comprovando que a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Agora vamos encontrar este limite.

Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!

Neste método temos que

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Pode parecer complicado, mas ao fazer pequenas manipulações algébricas, conseguimos facilitar muito nosso problema.

Vamos dizer que

y = 1 + sen ⁡ 3 x 1 / x

Como temos um caso com potência, aplicar o logarítimo em ambos os lados costuma ser uma boa ideia. Assim, obtemos

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 + sen ⁡ 3 x 1 / x = 1 x ln ⁡ ( 1 + sen ⁡ 3 x )

Vamos chamar f x = ln ⁡ ( 1 + sen ⁡ 3 x ) e g x = x . As derivadas dessas funções são

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x 1 + sen ⁡ 3 x

g ' x = 1

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( 1 + sen ⁡ 3 x ) x = lim x → 0 + ⁡ 3 cos ⁡ 3 x 1 + sen ⁡ 3 x = 3

Ainda não acabamos por aqui!

Até agora nós calculamos o limite de ln ⁡ y mas na verdade queremos o limite de y .

Sabemos que

y = e ln ⁡ y

Logo, temos que

y = e 1 x ln ⁡ ( 1 + sen ⁡ 3 x )

Substituindo esse valor no limite dado pelo enunciado, temos que

lim x → 0 + ⁡ 1 + sen ⁡ 3 x 1 / x   = lim x → 0 + ⁡ y  

lim x → 0 + ⁡ e 1 x ln ⁡ ( 1 + sen ⁡ 3 x ) = lim x → 0 + ⁡ e 3 = e 3

Nem foi tão dificil ein ?!

Essa sim é a resposta que estávamos procurando.

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 + sen ⁡ 3 x 1 / x   = e 3

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