Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x csc ⁡ 3 x  

Passo 1

Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.

Bem, sabemos que para aplicarmos esta Regra temos que ter a seguinte estrutura no limite:

lim x → a ⁡ f x g ( x )

O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito. Basta lembrar que

csc ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ

Logo, temos que

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x csc ⁡ 3 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x sen ⁡ 3 x

Pronto!! Já podemos verificar se a regra é aplicável ou não.

Analisando o limite acima, vemos que quando x → 0 ,

sen ⁡ 5 x → 0

sen ⁡ 3 x → 0

Para ser apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou ± ∞ ± ∞   .

Neste caso, obtemos a forma 0 0 , logo a Regra de l’Hôspital é aplicável.

Passo 2

Para resolver este limite, vamos utilizar a Regra de l’Hôspital, onde

lim x → a ⁡ f x g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' x g ' ( x )

e g ' x ≠ 0 para que o limite exista.

Vamos chamar f x = sen ⁡ 5 x e g x = sen ⁡ 3 x . As derivadas dessas funções são

f ' x = 5 cos ⁡ 5 x

g ' x = 3 cos ⁡ 3 x

Em x = 0 , g ' 0 = 3 ≠ 0 . Portanto, está dentro das condições da Regra.

Substituindo esses valores, obtemos

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x sen ⁡ 3 x = lim x → 0 ⁡ 5 cos ⁡ 5 x 3 cos ⁡ 3 x = 5 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x csc ⁡ 3 x = 5 3

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