Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica.

x = 4 y 2 - y ³ ,   x = 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pela seguinte curva dada:

x = 4 y 2 - y ³

Em torno do eixo x = 0 .

Para isso, devemos utilizar o método das cascas cilíndricas. Mas que método é esse???

Esse método diz que o volume V de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y sob a curva y = f x de a até b é:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Podemos ver que a função varia de 0 a 4 em y da seguinte forma:

4 y 2 - y 3 = 0

y 2 4 - y = 0

y = 0   o u   y = 4

Assim, o nosso intervalo de integração será 0,4 .

Nesse sentido, aplicando o método das cascas cilíndricas, temos:

V = 2 π ∫ 0 4 [ y ( 4 y 2 - y 3 ) ] d y ∴

V = 2 π ∫ 0 4 4 y 3 - y 4 d y ∴

V = 2 π y 4 - 1 5 y 5 0 4 ∴

V = 2 π 256 - 1024 5 ∴

V = 2 π 256 5 ∴

V = 512 π 5  

Passo 3

Assim, esboçando a região e a casca típica obtida pela rotação, temos:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

V = 512 π 5  

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