Calcule

b) lim x → 0 + ⁡ x 2 + t g 3   x s e n 3   x

Passo 1

Note que o limite tem uma indeterminação do tipo “ 0 0 “, então vamos aplicar L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ x 2 + t g 3   x s e n 3   x = lim x → 0 + ⁡ 2 x + 3   t g 2   x   1 + t g 2   x 3   s e n 2   x cos ⁡ x → 2 0 + 3 0 2 1 + 0 3 0 2 ( 1 ) → 0 0

Passo 2

Como a indeterminação persistiu, aplicamos L’Hospital novamente:

lim x → 0 + ⁡ 2 x + 3   t g 2   x + 3   t g 4   x 3   s e n 2   x cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 2 + 6   t g   x sec 2 ⁡ x + 12   t g 3   x sec 2 ⁡ x 6   s e n   x cos ⁡ x - 3   s e n 3   x

Agora não há mais indeterminação:

lim x → 0 + ⁡ 2 + 6   t g   x sec 2 ⁡ x + 12   t g 3   x sec 2 ⁡ x 6   s e n   x cos ⁡ x - 3   s e n 3   x → 2 + 6 0 1 2 + 12 0 3 1 2 6 0 1 - 3 0 3 → 2 0 → + ∞

Logo,

lim x → 0 + ⁡ x 2 + t g 3   x s e n 3   x = + ∞

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x 2 + t g 3   x s e n 3   x = + ∞

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