Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que utilizemos a Regra de L'Hôspital para encontar o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x

Caso não seja aplicável, devemos utilizar outro método.

Lembrando que a regra de L'Hôpital é um método para calcular limites indeterminados de funções que podem resultar em formas do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ .

Consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente quando o limite é indeterminado e avaliar novamente o limite.

Se o novo limite ainda for indeterminado, repete-se o processo até que o limite possa ser determinado. ​

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos verificar se há a existência de uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x → tgh ⁡ 0 tg ⁡ 0 → e 0 - e - 0 e 0 + e - 0 0 → 1 - 1 1 + 1 0 → 0 0

Temos a indeterminação da forma 0 0 , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x ' tg ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ sech 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 cosh 2 ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x e x + e - x 2 2

Aplicando o limite:

= cos 2 ⁡ 0 e 0 + e - 0 2 2

= 1 1 + 1 2 2

= 1 2 2 2

= 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ tgh ⁡ x tg ⁡ x = 1

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A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma. lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 4 x 5 x - 2 x
Calcule o limite, se ele existir. lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x
Calcular o limite, caso ele exista: lim x → π 2 ⁡ 3 c o s ⁡ ( x ) 2 x - π
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = s e n ( x ) g x = cos ⁡ x (a,b) = (0, π )
Fazendo uso do Teorema do Valor Médio de Cauchy, encontrar o valor de ‘z’ que o satisfaz.Dadas as funções e o intervalo: f x = x 3 g x = x 2 (a,b) = (0,2)