Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 6.3 - Ex. 6

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desse livro

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y .

Passo 1

Usando a formula para o volume do sólido de rotação em relação ao eixo y ,   ou seja,

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas, ou seja

4 x - x 2 - x = 3 x - x 2

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por x   .  

Além disso, note que a interseção ocorre em

3 x - x 2 = x → x = 0   ,   x = 2

Sendo assim,

V =   ∫ 0 2 2 π x   3 x - x 2 d x = 2 π ∫ 0 2 3 x 2 - x 3 d x = 2 π x 3 - x 4 4 0 3

V = 2 π 2 3 - 2 4 4 = 2 π 2 3 1 - 2 4 = 2 π 8 1 2

V = 8 π  

Resposta

V = 8 π  

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